Y estalló la polémica . Hace unos días, en Twitter se vieron una agria discusión matemática en la que dos bandos «luchaban» por una victoria que les llevara a la cima del mundo del análisis [...] Sí, amigos, efectivamente ésa es la razón por la cual la temperatura matemática llegó a niveles nunca vistos en las redes sociales. En concreto, la cuestión que desató el conflicto puede resumirse en la siguiente pregunta: ¿Es la función f(x)=1/x continua? [...] Respuesta corta: sí, es continua
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etiquetas: 1/x , continuidad , análisis , dominio , límites 
Y como matemático que soy, suscribo todo lo que dice @gaussianos en su blog.
Resumo que a muchos os gusta más mirar los comentarios que los artículos: al hablar de continuidad de una función, solo se puede hacer en el dominio y el 0 no pertenece al domino de la función 1/x. Así que la función es continua en todos los puntos de su dominio.
Y añado algo que no viene en el artículo. En realidad la definición general de función continua entre dos espacios topológicos es que la antimagen de todo conjunto abierto* es un conjunto abierto, no depende de la continuidad punto a punto. Y es fácil comprobar que así es en esta función.
P.d. *abierto: en R un conjunto abierto es aquel que se puede poner como unión de intervalos abiertos. Para comprobar la definición de continuidad no hace falta comprobarlo con la antiimagen de todo abierto, sino que bastaría comprobarlo con la antiimagen de cada intervalo abierto.
Y como matemático que soy, suscribo todo lo que dice @gaussianos en su blog.
Resumo que a muchos os gusta más mirar los comentarios que los artículos: al hablar de continuidad de una función, solo se puede hacer en el dominio y el 0 no pertenece al domino de la función 1/x. Así que la función es continua en todos los puntos de su dominio.
Y añado algo que no viene en el artículo. En realidad la definición general de función continua entre dos espacios topológicos es que la antimagen de todo conjunto abierto* es un conjunto abierto, no depende de la continuidad punto a punto. Y es fácil comprobar que así es en esta función.
P.d. *abierto: en R un conjunto abierto es aquel que se puede poner como unión de intervalos abiertos. Para comprobar la definición de continuidad no hace falta comprobarlo con la antiimagen de todo abierto, sino que bastaría comprobarlo con la antiimagen de cada intervalo abierto.
Ta'bien...
— Mira, si tu madre y yo solo queríamos un hijo, y tu hermano nació antes, ¿quién sobra?
— Hijo de puta.
Es como decir los numerod y letras sirven para que tu puedas tener móvil , ordenador y tablet ....
Para que sirve una función exactamente en mi móvil ? Para que sirve esa ecuación ? Que representa ???
Ejemplo muy sencillo. Si defino f(x)=0 en todos los puntos salvo en el 0 donde la defino como f(0)=1, esta función está definida para todos los números reales y no es continua. En el 0 tendría lo que en el instituto se llamaba discontinuidad evitable.
Na, solo te diré una cosa, no es una ecuación, es una función.
Aquí utilizan un tecnicismo para decirme que 0 está fuera del dominio de la función y que es continua, a pesar de que estoy viendo una gráfica que dice lo contrario.
La pregunta está mal planteada.
De todos modos, por definición, 1/x es continua en R-{0}.
Un ejemplo sobre la utilidad de esta cosa.
Para que sirve f(x)=1/x. , Sé que representan líneas y puntos en una gráfica , pero como se aplica eso a la informática en un móvil o tableta ????
¿Qué tiene de interesante esta discusión? pues también, es subjetivo. No soy matemático pero en la facultad (dónde van los años...) tuve unas cuantas dosis de matemáticas, así que puedo tener un pelín de opinión al respecto: para hacerse pajas entre los bandos.
En este caso, f(x)=1/x significa que el resultado de la función para un número X que le apliques, le devuelves 1 dividido por X. Como seguramente sabrás, 1/0 no existe, no se puede aplicar, no hay número que multiplicado por 0 dé 1. Pero podemos irnos alrededor del 0 y vemos que, como es lógico, si X es un número positivo, cuanto más pequeño sea ese número (más próximo a cero) entonces 1/X será más grande, es decir, cada vez más próximo a infinito(*). Por el contrario, si X es un número negativo (nos acercamos a cero por la izquierda en la gráfica) 1/X será cada vez más próximo a menos infinito.
Si en el punto 0 tienes que si te acercas por la izquierda (el negativo) vas hacia abajo y si te acercas por la derecha (el positivo) vas hacia arriba (en la gráfica) está claro que la curva, la línea, la raya que es en sí el juntar todos los resultados de la función para todos los posibles valores de X (que a su vez también son infinitos pero esa es otra historia) entonces está claro, obvio, cristalino, que esa raya NO es contínua.
Así que unos dicen que no es continua la función porque la raya no es continua.
Y otros dicen que sí es continua porque hacen, a mi entender, la trampa de que "no, mira, es que en 0 no existe 1/0, así que ahí no está definida la función, y si no está definida, entonces no cuenta y por tanto es continua".
(*) Ojo, que infinito NO es un número sino un concepto, pero para la explicación puede valer (a riesgo de herejía matemática) entenderlo como un número grandísimo de la hostia. Técnicamente nunca te acercas más a infinito ni a menos infinito porque siempre tienes un infinito de por medio.
Si la función en un punto no existe, por definición de "no existe en ese punto" significa que no es continua en |R. Sé perfectamente que una función puede estar definida para todo |R y eso no significa que sea continua. Pero a mi entender, el que no esté definida en todo |R significa, precisamente, que no es continua.
¿Podría algún @admin, bloger o especial mover este envío ahí? O @Ergo tú mismo y así me devuelves algún favor
Y como éste hay bastantes ejemplos.
Te lo pondre de otra manera, aunq la explicacion de #2 es perfecta.
1o. La continuidad solo tiene sentido en el dominio de la funcion. Fuera del dominio es absurdo plantearlo.
2o. 1/x no esta definida en 0 por tanto no forma parte del dominio.
ERGO 1/x es continua en todo su dominio.
Esto no es democracia, es matematicas.
1 AND 0 = 0
1 AND 1 = 1
Pues AND es una función discreta que toma dos argumentos y devuelve uno.
O te lo digo de otra forma, si estás estudiando la función restringida a un intervalo, pues en ese nuevo dominio de definición la función es continua. Ningún problema.
Y pasa que aquí no es ni lo uno ni lo otro. Aquí lo que hay es un cambio de definición. No hace falta que me digas algo que ya sé y que ya han escrito otros. Por raro que te parezca, sé leer y suelo entender la mayoría de lo que leo, al menos cuando está en algún idioma que hablo.
Tú mismo me estás dando la razón: "ERGO 1/x es continua en todo su dominio", claro, cuando especificas el dominio entonces sí, pero la función, como tal, no lo es.
Estas cosas pasan con matemáticas, como cuando se pelean algunos con que si el cero pertenece a los naturales o no: depende de la definición que quieras aplicar.
Ahi esta la clave ... no lo has entendido bien. La continuidad matematica de una funcion no es lo mismo q lo q entendemos por "continuidad" intuitivamente en el mundo fisico.
Espero haberme expresado bien
En una funcion como 1/× cerca de cero no son utiles.
De todas formas la grafica no dice lo contrario ... no la estas interpretando bien
Lo mismo en esta funcion, que en el lugar donde no seria continua X=0 la funcion no existe, esta fuera de su dominio, con lo cual la pregunta carece de sentido
Mira, ya que nos ponemos, dos motivos por los que no es continua:
1- por lo que ya hemos dicho, que se salta un punto.
2- tampoco es continua porque, INCLUSO aunque elijas su propio dominio, aunque cojas la gráfica y te saltes la "columna" del cero, hay un salto de menos infinito a la izquierda a infinito a la derecha, es decir, dos infinitos de distancia, que viene siendo un infinito a fin de cuentas. Ahí tenemos a #8 definiendo como discontinua a una función definida como 0 en todos los puntos menos en 0 que sería 1. ¿Qué significa que es discontinua entonces? que no puedes seguir la función de una manera "suave", que tienes algún cambio abrupto en algún sitio (como ya lo hemos dicho) y otra QUE TIENES UN PUÑETERO ESCALÓN DE VALOR INFINITO. ¿Qué más discontinuidad que esa quieres?
Gracias.
Dejando eso a un lado, creo que no es exactamente igual que el símil que haces (aunque es un buen intento y de buenas a primeras casi me convences pero en una segunda lectura no) por el sencillo motivo que indicas: no podemos saber qué había antes del big bang, pero aquí se trata de una cuestión de definiciones que hacemos. Es más parecido a lo de si 1 es primo o no es primo, que no recuerdo ahora exactamente cómo era el razonamiento pero venía a ser algo así como que sí podría ser primo, pero si lo consideramos primo, entonces no sé qué teorema matemático se venía abajo, así que se considera no primo.
¿Sabes que existen funciones continuas en todo R que son imposible de dibujar? Es más, si coges una función continua al azar, lo más probable (probabilidad 1 de hecho) es que la función no se pueda dibujar, entre otras cosas porque te saldrá que no es derivable en ninguno de sus puntos.
Si te vas a limitar a pensar en continuidad con esa idea preconcebida errónea de la gráfica vas a estar errado.
Yo como ingeniero, siempre pensé que era continua pero por otro motivo. Para mi, la función para x=0 sí la consider definida, vale infinito, y el infinito en el campo complejo no tiene fase al igual que el cero.
Tú tendrás la razón, y yo estaré equivocado en muchas cosas. Pero yo soy ingeniero y me follo a las matemáticas como quiero para obtener los resultados prácticos.
La definición de continua por límites en un punto a del dominio se define como que existe el límite cuando x tiende a a (por tanto los límites laterales son iguales, que es lo que has dicho) y ese límite vale f(a). Observa que en la definición he puesto "del dominio". Y es que ese "del domino" es necesario en la definición, ya que si a no pertenece al dominio no podemos hablar de f(a).
Pero espérate que tú no sabes lo que significa ser continua en a porque no conoces la topología de esa extensión. Así que ya que te pones chulo, para chulo yo y te lo explico. Que por cierto, no hace falta irse a C, la compactificación por un punto podrías haberla hecho en R y funciona igual.
Vale, pues vamos allá. Primero vamos a dotar de topología a la compactificación en un punto (una topología con la que será compacto). Para ello definimos en el infinito una base de entornos formada por los conjuntos de la forma {x en R (o C) tales que | x|>M} con M un número positivo.
Con la topología que sale de ahí podemos ver que la antiimagen de un abierto sigue siendo un abierto.
¿Que te gusta más con límites? Bueno, tenemos que aclarar lo que significa que el límite en un punto sea infinito. Y la definición es esta:
el límite de f(x) en a es infinito si para todo M>0 existe un épsilon tal que si | x - a|<épsilon, entonces | f(x)|>M.
Y con ese concepto de límite saldría también que la extensión es continua.
Así que vete a vacilarle a otro
P.d. A ver al darle a enviar si menéame no me hace cosas raras con las expresiones matemáticas y empieza a tachar cosas
Edit: arregladas las cosas raras
Eso es porque tú (y casi todo el mundo) llamas continuidad a una cosa y los matemáticos se lo llaman a otra.
La definición matemática de continuidad no es que la función se puede dibujar en todo R sin levantar el lápiz del papel, porque esa definición que tú empleas y que nos resulta tan "natural" llevaría de manera ineludible a que toda función cuyo domino no es R es necesariamente no-continua, lo cual vaciaría de sentido el concepto de continuidad. Esta herramienta (las definiciones no son más que herramientas que nos permiten hacer cosas) sería inútil a la hora de hacer todas los cosas interesantes que se hace con la definición canónica de "continuidad" y, por lo tanto, nos obligaría a emplear la herramienta "continua en su dominio" en su lugar.
¿Por qué concederle el nombre a una herramienta defectuosa en lugar de a la herramienta que sí que es útil? ¿Para que se parezca más al concepto cotidiano? No es así como funcionan los matemáticos, créeme.
La respuesta es SI.
Tú mismo has puesto como ejemplo de una función no continua la que tiene todo 0 menos en 0 que tiene 1 ¿por qué es discontinua? porque incluso aunque coinciden los límites laterales, no coinciden con el valor de la función en el punto.
Tú dices que, oye, sólo si está definida la función en el punto, ese punto pertenece al dominio y es sólo en el dominio donde se considera la continuidad de la misma. Muy bien, hagamos esa suposición y quitamos el 0 de los puntos a calcular. ¿Cuánto es el límite de la función por el lado negativo cuando se aproxima a cero? menos infinito ¿cuánto es por el lado positivo cuando se aproxima a cero? más infinito.
¿Coinciden los límites laterales del cero, que ya hemos dicho que no íbamos a contar con el cero pero sí podemos ver los valores a un lado y a otro? No, no coinciden porque tienen un salto infinito. En tu función de ejemplo valía un salto de valor unidad (en realidad dos saltos y no hace falta ningún valor concreto mientras sea distinto de cero) para indicar que es discontinua.
Pues aquí con mayor motivo, no hay mayor salto posible que infinito. Si quieres aquí, dos infiinitos, pero ya sabemos que dos infinitos son un infinito.
¿O es que como además no está definida en cero entonces da igual también lo que pase a un lado y a otro de la "singularidad"? Nopes.
Atendiendo a la definición que usas, es decir, "continuidad en el dominio", para que fuese continua tendría que ser definida la función tal que en el lado negativo de las X, f(X) = -1/X, y sí fuese 1/X para la parte positiva de las X.
De esa manera sí coincidirían los límites por izquierda y derecha al aproximarse a cero (aunque no usemos cero) y sería infinito. O si quieres puedes hacerlo al revés y cambiar el signo del semieje positivo de las X, dejando el semeje negativo igual, por tanto tendrías continuidad en menos infinito si quitamos el 0.
Así tal como está, lo quieras ver por la definición, lo quieras ver por el valor real de la función en los límites alrededor del cero, no es continua.
Repito ¿o es que las "singularidades", las zonas donde no está definida la función son entes que tienen, entre a lo mejor otras, como consecuencia que no importa lo que sucede a sus lados y la función puede hacer lo que le dé la gana y aún así ser continua porque patata?
El standard de coma flotante IEEE754 define varios "números" especiales: "NaN" que significa literalmente "Not a Number"; y también está "Infinity".
Si en el ordenador arrancas nodejs y evaluas 1/0 obtienes "Infinity", y si calculas "0/0" obtienes NaN
El tema es que dichos valores NO SON NUMEROS: no se puede operar con ellos. Cualquier programa de cálculo que los intente utilizar retornará una excepción ("DivisionByZeroException") y en primero de telemática es una pregunta casi obligada de examen el capturar dichas excepciones.
En ingeniería la operación de buscar "polos" y "ceros" de una función es algo que se enseña en primero de carrera, y está intimamente relacionado con la noción de continuidad de una función, y con el dominio en que dicha función está definida, y cómo tiene que ser tratada a la hora de realizar cálculos computacionales con ella ( p. e. evaluar la frecuencia de resonancia de un puente para que no se hunda al paso de un camión, o cómo construir una emisora de radio que emita en una frecuencia determinada, o .... )
En otras carreras STEM no sé, pero en arquitectura y telecomunicaciones es el pan de cada día.
En cualquier caso, si te empeñas en seguir viendo los límites en el 0 te añado más información. Al hablar de límites infinitos en R se puede considerar 3 tipos de límites, los que tienden a +infinito, los que tienden a -infinito y los que tienden a infinito. Ojo, infinito no es lo mismo que +infinito. Se dice que f tiene de límite infinito en a cuando para todo | M | > 0 existe un b tal que si | x - a | < b entonces | f(x) | > M.
Pues bien, resulta que el límite de la función f(x)=1/x cuando x tiende a a es infinito (sin signo). Y los límites laterales coincidirían.
Por cierto, podría pasar que los límites laterales sean infinito sin ser los límites laterales tampoco +infinito o -infinito.
ejemplo sencillo, calcular las dimensiones de un video en base a la relación de aspecto...
La función f(x)=1/x no es continua en R, aunque sí es continua en su dominio, en R~{0}.
Si al no decir el intervalo se interpreta que es continua en R, sería obviamente falso.
Se sale de la grafica por abajo pero despues continúa por arriba.
Te hablo a nivel de bachiller, puesto que no soy matemática.
La continuidad o discontinuidad es una propiedad de una función y por lo tanto, preguntas por ella ahí donde existe y está definida, es decir en su dominio.
En esa función, el cero está fuera de su dominio si hablamos de función en la recta real. No tiene sentido dividir por cero en el universo de números reales, por lo que si te lo planteas... debes cambiar de universo.
Es como plantearse la continuidad de una raíz cuadrada de un número negativo en la recta real. No existe la función ahí, así que... ¿Qué sentido tiene caracterizarla y preguntarse por sus propiedades?
Al menos así nos lo enseñaron en la ESO, que si no levantas el lápiz, es continua.
Bueno, si lo levantas para ir al servicio y luego sigues donde estaba, no cuenta.
Osea, que si el agujerito de x^2/x lo salvamos con un puntito por encima, ya si podemos decir que es discontinua en x=0, pero si no ponemos el puntito no tiene sentido hablar de discontinuidad en x=0??
No sé, no sé...
En un número +n y -n son dos puntos diferentes y simétricos respecto del eje y.
El p* infinito es como una niebla que confunde.
En límites, recuerdo que había un teorema que transforma todo el infinito en un punto, como si envolvieras una pelota con un papel haciendo que los bordes (el infinito) coincidieran en el polo Norte (o el sur, o el que quieras).
El infinito negativo y el infinito positivo, ambos son infinito a secas.
Es el problema de enseñarnos matemáticas a medias, que tendemos a recordar sólo la receta y nos olvidamos de detalles importantes.
#79, no sabes, yo sí lo sé, que para algo soy doctor en matemáticas
Sí, ya yo mismo dije en mi, creo, primer comentario en este meneo que infinito no es un número sino un concepto, aunque la aproximación como número puede valer para empezar a entender algunas cosas, pero rápidamente hay que pasar de eso para irse a lo que es.
Como dije también en otro comentario, salvo que ahora me digas que hagas la vuelta del cuentakilómetros, de manera que irse al infinito por la parte positiva se toca con el infinito en la parte negativa, lo cual es un salto conceptual que no veo, lo cierto es que "mientras no llegues a infinito", los límites se van alejando cada vez más entre sí.
Me habré olvidado de cosas de matemáticas, pues hace no lustros sino décadas que no voy a una clase de matemáticas, pero estoy bastante convencido que ese "teorema del punto gordo de los infinitos" al que haces referencia no lo vi en clase.
Pero es que incluso aunque exista tal teorema, el caso está en saber usarlo y aplicarlo. Y aunque no lo conozca, o por lo menos no lo recuerde, no acabo de ver cómo, importante, hablando de una función, podamos decir que es lo mismo que dé hacia infinito por arriba o por abajo, que todo es infinito y decir lo contrario es no tener perspectiva de infinigénero, ser un infachanito o algo por el estilo.
Ya lo decía el cubano aquel: el infinito te confunde
Si "ponemos el puntito encima" (i.e: definimos f(0)=0) la función es contínua (coiciden los limites laterales con el valor de la función en el punto).
Podríamos decir que f(x)=x²/x es discontínua en 0 siempre que la definieramos con otro valor p.ej: f(0)=42.
Por cierto muchas gracias por tus explicaciones @Zurditorium cuando uno estudia mates se agradece mucho la concreción en el lenguaje y las definiciones.
1ª interpretación matemática = usando unas definiciones y una lógica se llega a una conclusión, que es la que has planteado.
2ª interpretación filosófica = una discontinuidad es una forma de definir el concepto de infinito, pero ¿realmente existe algo que es infinito o simplemente estamos intentando definir con infinito lo que no comprendemos (la propia estructura del universo)?
Si 0.9 periodo es 1 entonces no existe esa serie de infinitos 9 que hacen que al final se alcance el 1 y por tanto no existe infinito,
Si 0.0 periodo es 0 entonces ese infinito de ceros es todo lo que existe,
si 0.1 periodo no tiene un número más proximo entonces todo número está separado por un número infinito de números y por tanto cualquier número intermedio es infinito
Estas cuestiones no tienen expresión matemática porque se dicen absurdas ya que la matemática actual no puede expresarlas. Siguiendo por este camino intelectual nos llegamos a preguntar si realmente la matemática existe (si existen los números) y por extensión si existe la propia realidad.
No poder responderlas nos llevaría a la conclusión de que somos una simulación. Y las matemáticas es la herramienta intelectual que nos hace darnos cuenta de ello.
Por ejemplo, es mentira que hay asolo tres estados de la materia (plasma? condensado de Bose-Einstein?); no es verdad que solo tengamos 5 sentidos (el del equilibrio, propiocepción?); no es cierto que sólo podamos distinguir sabores con determinadas partes de la lengua; y por supuesto no es cierto que una función continua sea aquella que se puede dibujar de un solo trazo.
Gracias por todo el contenido que nos ofreces, pero creo que las formas te fallan.
Me invento una gráfica continua, tipo 1/x sin atender a la función pero si a dibujarla con el lápiz. Y tiendo a dibujarla continuamente hasta que me case (al infinito). La pregunta es que le ponga la función o expresión matemática. Posiblemente, sea 1/x y además es continua. Si no se corresponde a esa expresión habría que definir o inventarse otra función que no existe en las matemáticas actuales.
"el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"
Este tipo de cosas son la muestra de que, aunque las matemáticas sean coherentes y lógicas, cuando se trasladan al lenguaje natural, se pierde mucho rigor. Todos entendemos que la funcion f(x)=1/x no es continua en el sentido que le damos en la vida real a la palabra "continua". Pero sí lo es en el sentido matemático. El problema no está en las matemáticas ni en nuestro entendimiento intuitivo, no es una paradoja. Es un problema de traducción al lenguaje natural y de las asunciones que hacemos.
Como no hecho de menos las transformadas y los desarrollos..........
Una función no puede "volver al punto de partida". Una función no puede tener más de un valor de "y" para algún valor de "x".
Jaque mate.