Dos matemáticos han probado que dos infinitos diferentes son iguales en tamaño [ENG]

El problema se identificó hace un siglo. Los matemáticos sabian que el conjunto de los números reales es mayor que el de los números naturales, pero no cuánto mayor. En su nuevo trabajao, Malliaris y Shelah resuelven la cuestión desi un infinito (llamemoslo p) puede ser más pequeño que otro infinito (llamemosle t). El resultado, para su sorprresa, es que son iguales.

[#1 robustiano]

¿Entonces lo del aleph, los transfinitos, y toda la mandanga, no fueron más que una cantada del Cantor ése?

[#9 --165145--]

Bueno, comento un poco el artículo.

Antes de nada el conjunto de los números naturales es más pequeño que el de los números reales. Y se ha demostrado que es imposible determinar si hay conjuntos de tamaño intermedio. El que no lo haya se llama la hipótesis del continuo, y se ha demostrado que tanto la afirmación de dicha hipótesis como la negación son axiomas compatibles con la teoría de conjuntos (no ambos a la vez, claro), vamos, que se pueden construir modelos de la teoría de conjuntos que…   

[#2 --165145--]

#1, eso sigue siendo verdad. Me he leído la mitad del artículo y ya veo que #0 debería cambiar entradilla y titular porque da lugar a confusión.

Si no he entendido mal, han probado que 2 infinitos en particular son iguales, no que todos los infinitos sean iguales. Concretamente el infinito p y t de los que hablan son estos (copiado del artículo, no traduzco, que total, las definiciones no salen completas)

Briefly, p is the minimum size of a collection of infinite sets of the natural

…   

[#4 fantomax]

#2 y las reclamaciones se las tendríamos que hacer a un tal Kurt Gödel...

[#5 --152556--]

#2 Si no he entendido mal, han probado que 2 infinitos en particular son iguales, no que todos los infinitos sean iguales.
No los infinitos, sino su tamaño. Y sí, para todos: La única restricción que ponían es que p fuese más pequeño que t. Si t es más pequeño que p se renombran, t pasa a ser p y p pasa a ser t. El único caso que quedaría es si ambos son conocidamente iguales, que para qué demostrarlo si lo ponemos de condición inicial.

[#6 --165145--]

#5, sí, su tamaño, economía del lenguaje. Pero no, no demuestran que todos los infinitos tienen el mismo tamaño. El meneo está escrito raro y puede llevar a confusión, pero ya te digo yo que si en 2016 se hubiera descubierto eso la comunidad matemática iría dando tumbos desde entonces porque estaría todo mal. En el artículo se habla de un p y un t concretos.

The details of the two sizes don’t much matter. What’s more important is that mathematicians quickly figured out two things about

…   

[#7 --152556--]

#6 Vale, ahora lo he leido bien, tienes razón.

El problema es que el artículo ya la empieza liando también con el titular y los primeros párrafos.

[#52 gonas]

#2 Demostrar que existen conjuntos infinitos más grandes que otros es muy sencillo. Vasta coger un conjunto infinito cualquiera y el conjunto de sus particiones. Los dos conjuntos tienen un cardinal infinito, y el cardinal del segundo es mayor que el del primero.

[#53 --165145--]

#52, sí, eso digo y demuestro en #3

[#54 gonas]

#53 Eso me pasa por no leer todos los comentarios. Aunque cuidado con tu ultima frase que es confusa y como se lo cuentes así a un estudiante de matemáticas le puedes hacer un cacao más grande del que ya tiene.

[#30 RoterHahn]

#2 Desde mi ignorancia matematica. Como se puede medir algo infinito y llegar a la conclusion que dos infinitos son iguales.
No me entra en la cabeza.

[#3 --165145--]

#1, y si no supongamos que todos los conjuntos infinitos son iguales.

Sea A un conjunto infinito y sea B el conjunto formado por los subconjuntos de A

Supongamos que F:A->B es una biyección.

Sea C el subjunto de A definido como los elementos a de A que cumplen que a no pertenece a F(a). Sea ahora c el elemento de A tal que F(c)=C. Llegamos a una contradicción, porque si c pertenece a C, por definición de C no puede estar en F(c)=C. Y si c no está en C por definición c está en F(c)=C.

Acabo de demostrarte que un conjunto y el conjunto formado por sus subconjuntos son siempre distintos.

[#16 --432051--]

#3 "Distintos" si, pero el cardinal de un conjunto no tiene nada que ver con las propiedades de sus elementos, solo con sus "cantidades".

[#10 fantomax]

#8 No, hay infinitos posibles cardinales infinitos. Cada vez que tomo el conjunto de las partes de un conjunto S me sale algo de cardinal estrictamente mayor que #S. Lo que pasa es que de los conjuntos usuales tenemos los numerables y los no numerables con cardinal igual al de los reales (cardinal del continuo). Podríamos seguir inventando infinitos más grandes pero no es usual porque no es útil. Lo que se acabó por ver que era indecidible es si hay un cardinal intermedio entre el de los naturales (numerable) y el de los reales (continuo) y decir que no es un axioma más que se toma en algunas ocasiones para determinadas situaciones

[#13 --432051--]

#10 El cardinal de Partes de A, no es mayor que el de A. Si N tiene el cardinal infinito más simple que existe, que si no me equivoco es el cardinal "N sub 0". Te puedo demostrar que P(N) no tiene un cardinal mayor que N.

Si, lo sé, Cantor demostró que no, estoy harto de escuchar eso... te digo que tengo una relación, con funciones hash, entre P(N) y N, y la puedo convertir tranquilamente en:
F(P(N)) -> (n1, n2, ..., ni, ..., nL)

O sea, tu me das un subconjunto de N, finito y yo…   

[#31 fantomax]

#13 Cantor lo que demostró es que sí, que hay infinitos mayores que otros, con un ingenioso método de diagonales, y mucha gente se echó las manos a la cabeza cuando lo leyó, porque justo antes había demostrado que los pares son tantos como los naturales, los enteros tantos como los nautrales, que los racionales también son los mismos... Tanta igualdad entre todos y partes había revolucionado las aguas, pero luego añadir que pese a ello hay cardinales mayores que otros en el infinito le tocó la moral a mucha gente, especialmente a Kroneker, que hizo campaña activa para que Cantor nunca consiguiera plazas en las instituciones en las que él pudiera influir

[#33 --432051--]

#31 No Canyor demostro que existe UNA rrlacion entre N y los irracionales que prueba que n no tiene un cardinal mayor que el de los irracionales.

Yo, con OTRA relacion, PRUEBO que los irracionales no tienen un cardinal mayorque los naturales.

Es un tipo de “relacion” muy parecida a lo que existe entre los pares y los naturales.

Si tienes que f(n) ＝(2×n) +4 , no puedes probar que 0 y 2, como pares, pueden ser asociados a un natural si no cambias “la relacion”.

[#34 fantomax]

#33 Hay dos modos de hacerlo, una es demostrar que hay una inyección de una a otra y que hay una inyección de la otra a la una, y se puede demostrar que si hay esas dos inyecciones existe una biyección.
Pero Cantor demostró también que el conjunto de las partes es siempre estrictamente mayor que el conjunto original.
En serio, algo de teoría de conjuntos controlo.

[#37 --432051--]

#34 Por eso tambien añado la relacion entre P(N) y N, aunque esa es un poco mas compleja.

Te puedo demostrar que P(N) no tiene un cardinal mayor que N. De hecho tengo una biyeccion entre los subconjuntos finitos de N y su union con un conjunto cuyo cardinal es “aparentemente” mayor que el de los subconjuntos con infinitos elementos de N.

Ahora tengo una entre N y el conjunto de los cardinales. Pero necesitoque alguien compruebe si aplico bien la aritmetica de transfinitos.

[#40 fantomax]

#37 Bueno, es imposible que eso sea correcto sin tirar a la basura siglo y medio de matemáticas, mándalo a una facultad, si es cierto es relevante.

[#92 maria1988]

#33 Los irracionales sí tienen un cardinal mayor que los naturales. El cardinal de los irracionales es el del continuo, es decir, el de R.

[#108 --432051--]

#92 Pero dime, has hecho la resta dd los polinomios？

Has restado la cantidad de aristas de un grafo en arbol, donde todos sus nodos tienen los mismos hijos, y la de los caminos entre la raiz y las hojas？Para un nivel k, los polinomios dependen solo de el numerode hijos y del nivel del grafo.

Coge esa resta y hallale el limite cuando el numero de hihos y el nivel tienden a infinito.... los caminos NO son mas que las aristas.

[#35 --432051--]

#31 De hecho yo uso herramientas de Cantor y no lo sabia. No soy matematico, el truco algoritmico de relacionar N con los racionales era de Cantor. Yo solo lo he generalizado para infinitos niveles recursivos: la Construccion LJA.

[#14 --432051--]

#13 El link a mi trabajo lo tienes en el comentario #11

[#19 --432051--]

#13 Esto es lo que publique en Abril en twitter, añadiendo que que ese grafo eran los irracionales y que tenia la biyeccion con las aristas.

[#18 --432051--]

#10 Si no me crees joder, tienes el trabajo de estos tios, hay gente que les ha escuchado, asi que yo no digo ninguna locura. ¿Recuerdas cunado te comente que llevaba toda una semana con un "pedazo de problema"? Era rematando mi escrito para registrarlo. Pero la primera versión ya estaban los argumentos sobre |P(N) |= |N| y eso fue en Abril. esta gente ha publicado en Julio.

[#17 --432051--]

#12 No. Porque tu conoces esa fórmula en el contexto de los límites, y ahi hay que mirar que funciones forman parte de él. La farse correcta es:

El cardinal de cualquier conjunto infinito / el cardinal de otro conjunto infinito = 1

[#20 --165145--]

#16, cuando hablo de distintos me refiero a distinto cardinal. Economía del lenguaje. Los matemáticos solemos hacerlo, iguales salvo isomorfosmos, iguales salvo biyección, iguales salvo isometría, etc.

[#21 --432051--]

#20 Vete al comentario #11, y observa como se crea una biyección entre N y
{subocnjuntos finitos de N} U {Un conjunto cuyo cardinal es superior al de los subconjuntos con infinitos elementos de N}

Es un documento de 50 pags. Vete al índice... pero no lo vas a entender si no te lees lo primero.

[#23 --432051--]

#20 #20 Si te aburres y has entendido como funciona el reparto triangular de un CLJA, te recomiendo el penultimo capitulo, donde defino una biyección entre N y el conjunto de los cardinales... de TODOS.

[#22 --165145--]

#18, tanto @fantomax como yo somos matemáticos, yo soy doctor desde 2007, y en mis investigaciones me he inflado a trabajar con conjuntos infinitos de distinto tamaño. Así que algo sabremos del tema.

No, no hay solo 2 infinitos, hay muchos, y esto se sabe desde antes de que tú nacieras.

Un conjunto y sus partes siempre tienen cardinal distinto.

Por último yo sí me he mirado el trabajo de esta gente (por encima) y he explicado lo que el meneo tendría que haber dicho que hacen, que solo crea…   

[#79 maria1988]

#22 No te esfuerces con Fistro_Man. Justo en abril (lo que menciona en #25, supongo), estuve discutiendo con él del tema, intentando explicarle la cardinalidad, y él sigue convencido de que ha demostrado que el cardinal del continuo y el de los naturales es el mismo.
Tienes la discusión completa en este hilo www.meneame.net/story/jubilado-resuelve-uno-problemas-matematicos-mas-
Al final tuve que desistir.

[#81 --432051--]

#79 Ahi me faltaba la propiedad del GAR. Dias despues de hablar contigo, y descubrir que P(N) tiene el mismo cardinal que R, descubri que en un GAR, las aristas tienen el mismo cardinal que los caminos infinitos.

Eso se puede demostrar muy facil con un limite que tiende a infinito, de la resta del calculo de la cantidad de ambos que forma parte de la teoria de grafos.

Unos dias despues lo registre. La version registrada en Abril es posterior a nuestra discusion, y te menciono en el ensayo. Agradeciendo tu paciencia conmigo.

[#82 --432051--]

#79 Solo responde a esta sencilla pregunta, en un grafo cuyos hijos tienen todos los mismos hijos y niveles infinitos ？Hay mas aristas o caminos infinitos de la raiz a las hojas inalcanzables？

Simplemente escribe las formulas de cada una y restalas.

caminos ＝ hijos elevado al nivel

aristas ＝ sumatorio de h elevado a i
suendo h el numero de hijos por nodo e i el nivel del grafo.

la diferencia no hace mas que crecer, no entiendo como eso se puede invertir al tender a infinito. De hecho, el limite de la diferencia da infinito.

[#25 --432051--]

#22 Pues échale un ojo al mio. Sé que sabes del tema, yo llevo obsesionado con el mas de 20, sabiendo que se podia hacer, hasta que en ABril di con la clave.


No te esperes grandes formalismos, pero aún asi me explico. Tengo hasta las funciones hash que van de P(N) a N y viceversa. Realemnte de la union de los dos conjuntos que te dije antes. Que "aparentemente" es mayor que P(N). Su cardinal. Perdona mi tono, pero estoy un poco alterado.

[#24 --165145--]

#15, al manicomio

[#27 --432051--]

#24 Te prometo que voy al manicomnio después de que te leas mi escrito, sobre le que puesto un link en el comentario #11.

Dime si estoy loco joder: Lo mismo que publique en twitter en abril:
"Dado un grafo en árbol con niveles infinitos, donde todos sus nodos tienen 10 hijos, ¿hay mas aristas o caminos desde la raiz a las hojas?"

ahora piensa en un grafo cuyos nodos tengan cada uno 10 hijos... no? Te digo y te repito qu etengo la función hash de N con las aristas. En realidad mejor, Aristas Unión subconjuntos finitos de N.

[#26 --165145--]

#25, ¿abril? El trabajo de esta gente fue publicado el año pasado...

[#28 --432051--]

#26 Mierda... yo lei que Julio, pero no el año.. mierdaaa...

[#32 fantomax]

#30 Una buena pregunta que se había quedado sin responder, disculpa el despiste.
Vamos a pensar cómo se cuenta. Lo que se hace es establecer relaciones entre dos conjuntos, para ello usaré conjuntos finitos:
Tengamos el conjunto de frutas A={pera, manzana, plátano} y el de niños B={Ana, Bea, Carlos}
Sé que tengo la misma cantidad de frutas que de niños porque por ejemplo podría darle la pera a Bea, la manzana a Carlos y el plátano a Ana
pera <------------> Bea
manzana <----->…   

[#60 Jakeukalane]

#32 yo siempre me quedo intrigado porque eso es así, cuando por uno de los extremos también puedes agregar todos los números que quieras, de manera igual que lo puedes añadir por los decimales...

[#61 fantomax]

#60 No sé si entiendo bien la pregunta ¿Qué parte es la que te intriga?
Para demostrar que el conjunto de los números reales tiene mayor cardinal que el de los naturales basta con ver que el intervalo (0,1) tiene mayor cardinal que los naturales. De hecho hay biyecciones entre (0,1) y los reales. Así que la demostración se puede hacer con las expansiones decimales sin parte entera.

[#62 Jakeukalane]

#61 sí, pero lo que quiero decir es que los reales tienen como "huecos por dentro" 0.1 0.00001 pero los naturales tienen huecos por otro lado. Si te tienes que imaginar que puedes continuar añadiendo huecos infinitamente entre 0.1 y 0.2 no acabo de entender porque esos huecos no se pueden equiparar con los huecos que se van a generar por el otro extremo.

Es decir, ¿porqué hacer la biyección de esa manera? ¿No influirá nuestra representación de los números en eso?

Osea, es algo que…   

[#63 fantomax]

#62 Se trata de la gran combinatoria que supone tener expansiones decimales infinitas. Los enteros salen de las restas de naturales 2 a 2, los racionales de la división de enteros dos a 2. Pero los reales salen de todos los posibles puntos de acumulación de racionales, no 2 a dos, sino de infinitos en infinitos...
En realidad es mucho más interesante mirado de cerca, cuando sabes que los números algebraicos (los que son soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, como raíz séptima de 4 menos raiz cúbica de 7) son numerables, que la gran variabilidad la dan los números trascendentes, y que algunos números trascendentes, en concreto dos de ellos (pi y e) son tan fundamentales en nuestros modelos de la naturaleza.

[#67 Jakeukalane]

#63 Qué interesante. Ojalá supiera más de estos temas.

[#70 fantomax]

#67 Bueno, yo estoy licenciada en matemáticas, a lo mejor 5 años de carrera es un precio un poco alto, a no ser que te apasione de verdad de la buena basta con algo de divulgación aquí o allí.

[#103 Jakeukalane]

#70 no pude con las matemáticas de la carrera de informática así que no, imposible...

[#104 fantomax]

#103 La verdad es que las matemáticas de la carrera de matemáticas son bastante particulares en su enfoque. Te encantan o sufres a morir, creo que no hay intermedios.

[#36 fantomax]

#35 Tienes el paper? Pásalo y le hecho un vistazo. Pero en serio que la definición es por biyecciones, que se demuestra que una doble inyección es equivalente a una biyección. Y que hay infinitos posibles cardinales infinitos. De hecho esta demostración de que estos dos cardinales son distintos se enclava en una elección de axiomas en la que la hipótesis del continuo se da por falsa y ya se sabía que estos dos cardinales estaban entre aleph sub cero y el cardinal del continuo.
Destaco de este…   

[#38 --432051--]

#36 Comentario 11. Te advierto, es una explicacion informal de una estructura de datos, y calculos sobre ella...

[#39 fantomax]

#38 Eso no es una demostración rigurosa, no se aceptaría en ningún entorno académico de teoría de conjuntos.

[#41 --432051--]

#39 Lo se, pero en tu sincera opinion, la demostracion del Grafo Arbol Regular no es tan mala.

Todas las afirmaciones son informales pero no incorrectas. Por eso digo que es necesaria una colaboración.

Es lo que yo llamo, “entender” una fórmula, no solo demostrarla.

No se si lo has leido, pero la afirmacion de que ningun natural puede estar en dos habitaciones diferentes es totalmente obvia.

Tambien la de que los irracionales en [0,1] no tienen un cardinal superior al de expresiones…   

[#42 fantomax]

#41 No la considero una demostración, la veo como una idea en estado de germen que no ha considerado los detalles formales que la van a echar abajo muy probablemente, sorry. Y la verdad, que fuera un documento menos narrativo haría la lectura más sencilla.
Ya hace mucho que se demostró que hay biyecciones entre los naturales elevados a cualquier potencia natural (productos cartesianos) y los naturales sin elevar, no es nada novedoso, un estándar muy conocido.
No es una aproximación exenta de…   

[#44 --432051--]

#42 No si lo digo en el ensayo. “los caminos finitos no aportan nada nuevo”. Son los infinitos los interesantes.

La laguna seria esa, decirme que existe un irracional que no se piede expresar como una sucesion de 0..9 infinita. Solo con eso me tumbarias.

[#45 fantomax]

#44 Hay dos definiciones de los reales a partir de los racionales ya construidos a partir de los enteros, ya construidos a su vez a partir de los naturales, construidos a partir del conjunto vacío y los pares no ordenados de la axiomática de Zermelo y Fraenkel, luego ya bastante asentados sobre los principios más iniciales, cuestionados por el teorema de incompletitud de Gödel de 1931, ciertamente, pero eso vale para cualquier cosa que intentes construir, así que nos movemos por fe a día de…   

[#48 --354522--]

#45 Una pregunta de alguien que no tiene ni puta idea de matemáticas: ¿se sabe si el conjunto de los números primos es menor que el de los naturales?

A mí la intuición me dice que sí pero, claro, las matemáticas son a veces tan contraintuitivas...

[#76 --165145--]

#48, te complemento un poco lo que te dice @fantomax (del otro que te ha respondido pasa ). Lo que te ha dicho ella es todo cierto, pero te voy a demostrar que efectivamente son iguales en tamaño.

Coge todos los números primos y ordénalos, vamos, al primero que es el 2 lo llamas p₁, al siguiente, el 3, lo llamas p₂, y así sigues, es decir, la sucesión

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

la rellamas

p₁, p₂, p₃, p₄,…   

[#102 maria1988]

#48 Ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, es decir, hay tantos primos como naturales.

[#49 fantomax]

#48 Se sabe que los primos son un conjunto infinito, hay una demostración en "Los Elementos" de Euclides.
Se sabe que no hay ningún infinito menor que el cardinal de los naturales.
Se sabe que el infinito de los primos no puede ser mayor que el de los naturales, por ser un subconjunto.
Así pues, hay exactamente la misma cantidad de primos que de naturales.

[#64 --432051--]

#48 Vale: esa me la plantearon una vez.

Consideras una maquina de Turing una función viable y correcta?

Partimos de un conjuntos de símbolos en la la cinta, y obtenemos otro conjunto de simbolos en la misma cinta.

No es difícil ver que los simbolos pueden representar un natural, y la salida ser la representación de un número primo.

Subamos un nivel, toda maquina deTuring tiene el mismo potencial que cualquier programa de ordenador escrito hasta la fecha: osea, si yo escribo un programa de…   

[#50 --432051--]

#45 Fíjate en una cosa.. si creo que hablas de lo que estas hablando: sobre cómo Cantor construía los ordinales:

0 +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1.... y nunca podremos llegar a w,un natural mayor a todos los demás... el conjunto de cada elemento "+1", su cardinal es el de los naturales...

Bien... imagina que yo tengo una función, que es más que obvia:
f(n + 1) = n, se podría expresar como composicion de funciones creo g(n) = n +1 y luego f (g(n)) = n - 1

El dominio de f() no incluye al…   

[#46 sisi]

#30 Por que primero definen claramente que quiere decir menor. Por ejemplo una definición considera que un conjunto es menor que otro si los elementos de uno son numerables y del otro no. Numerable quiere decir que puedes coger cualquier elemento del conjunto y averiguar que posición ocupa en el total. Por ejemplo los números naturales, los enteros y los racionales son numerables. En cambio hay conjuntos que es imposible hacer eso, por ejemplo el conjunto de los números reales.

[#51 fantomax]

#50 Para hacer cosas de ordinales no se usan las mismas técnicas que para hacer cosas de cardinales. Y la inducción transfinita es algo bastante más complejo que lo que cuentas.

[#59 --432051--]

#51 Eso es lo que me temía. Pero una cosa si es cierta, N sub cero elevado a N sub cero es N sub uno no? Según la aritmetica de transfinitos Un transfinito con subincice "a" elevado a otro con subindice "b":

Si b >= a , el transfinito resultante es N sub (b +1), como en este caso son iguales... (a +1)

Yo entiendo que el paso de uno a otro sea N sub (i + 1) = 2 elevado a (N sub i) , haciendo algo como que la "forma de llegar" de un cardinal a otro es…   

[#55 gulfstream]

Ya lo decía mi profesor de matemáticas, infinito más infinito da un infinito más gordo.

[#68 --165145--]

#55, no, infinito más infinito da un infinito igual de gordo. 2 elevado a infinito sí da un infinito más gordo

[#56 --513049--]

O dicen que demostraron ¿Quién se lo va a discutir?
Llegó a portada. Este es el Menéame que le gusta a la gente. El Nerd, no el House Organ de Podemos

[#69 --165145--]

#56, de hecho no dicen que demostraron. Y por cierto, en Menéame hay matemáticos (doctores, investigando y tal) que han comentado lo que realmente pasa en el artículo

[#58 gonas]

#47 Pues no. Algunos conjuntos infinitos se pueden medir. Esto es conocido como la paradoja de Zenón, más conocida por la paradoja de Aquiles y la tortuga.

[#65 Petardusferiae]

#15 Sin demostración formal que un matemático pueda entender, a ningún lado. Los argumentos informales no valen

[#66 pert0]

Negativo porque lo dice este y parece que sabe www.meneame.net/notame/2884769

[#71 --165145--]

#27, oye, que no me he mirado tus 50 páginas pero creo que me imagino lo que has hecho y dónde está el fallo.

Partes de un grafo, cada nodo con 10 hijos e intentas identificar a los números reales con ese grafo, y como el grafo tiene una cantidad de nodos numerables y aristas numerables deduces que así es R, ¿me equivoco?

Pues bien, el problema es que cada número real no iría representado por un nodo, cada número real (bueno, o el intervalo [0,1], pero da igual, claro) iría representado por un camino, en el caso de tener infinitos números sería un camino de longitud infinita. Y ahí está el problema, si bien es cierto que la cantidad de caminos finitos es numerable resulta que la cantidad de caminos de longitud infinita no es numerable.

[#73 fantomax]

#64 Euclides, hace milenios.

[#89 maria1988]

#64 En primer lugar, la definición de conjunto infinito es la siguiente: un conjunto A es infinito si existe un subconjunto B estrictamente contenido en A que tiene el mismo cardinal que A.
Y sí, los primos son infinitos. Es de las primeras demostraciones que se estudian en la carrera de matemáticas. La prueba es por contraposición:

Se supone que el conjunto de los primos es finito y que consta de n elementos p1, p2, ... , pn, de tal forma que p1<p2<...<pn.
En ese caso, cualquier…   

[#74 --432051--]

#73 Buah, pues si los primos son infinitos, solo queda la posibilidad de la equipotencia con N.

Lo único que podría estar entendiendo mal es la idea de que absolutamente todos los subconjuntos de N están bien ordenados. ¿Me estoy columpiando con eso?

[#75 fantomax]

#74 Todos los subconjuntos de N están bien ordenados y en ello se basan muchísimas demostraciones.

[#80 --432051--]

#75 Hay algo que no entiendo de los matematicos:
Una funcion, antes de serlo debe ser relacion.

Si ya hay ejemplos que demuestran que entre dos conjuntos infinitos se pueden definir relaciones, de equipotencia, de superioridad cardinal y de inferioridad cardinal...

Quien ha demostrado que si encuentras una relacion de un solo tipo entre dos conjuntos infinitos, el resto es imposible encontrarlas？

Rieman no lo entiendo, pero me suena a una demostración de que dado un x, los primos que hay…   

[#83 maria1988]

#81 A ver, ol que dices no es posible, pues ya se demostró hace más de un siglo que esos cardinales son distintos. Si tu demostración fuera correcta, habrías probado que toda la teoría de conjuntos es inconsistente.

[#84 --432051--]

#83 Tu solo calcula lo que te digo del grafo... la forma de hacer equipotentes las aristas con N, es otra cosa... pero la explico en el ensayo.

[#87 fantomax]

#80 No son funciones, en realidad nosotros hablamos de aplicaciones. Y sí, una aplicación se define como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos que cumple una serie de condiciones.
Lo que demuestra Cantor no es que se pueda encontrar una aplicación inyecctiva, sino que cualquier biyección produciría una contradicción, por tanto no es una demostración constructiva sino por reducción al absurdo. La reducción al absurdo es de lógica proposicional y sin lógica de primer o segundo orden hacer demostraciones de teoría de conjuntos está completamente fuera del alcance. Demuestra que es imposible construir una, eso es inapelable.

[#88 fantomax]

#84 No puedes demostrar nada de trasfinitos con grafos, no se hace así.

[#90 maria1988]

#74 Es que el cardinal de los primos es el mismo que el de N. De hecho, el cardinal de N es el menor de los cardinales infinitos.

[#91 fantomax]

#90 Quedas oficialmente invitada a |problemas
Si te apetece, claro.

[#93 maria1988]

#91 Jajaja, lo descubrí hace poco y empecé a seguirlo la semana pasada aprox.
Creo que es el sub con más matemáticos de menéame, ya que el de matemáticas está un poco muerto.

[#105 --165145--]

#93, ¿es que hay un sub de matemáticos?

P.d. Me dices que lo deje por imposible y vas tú y sigues

[#106 maria1988]

#105 www.meneame.net/m/Matemáticas
Está muerto desde hace tiempo, lo mismo podríamos intentar revivirlo.

«P.d. Me dices que lo deje por imposible y vas tú y sigues»
Ya, soy lo peor, siempre caigo. En el trabajo ya hasta han dejado de vacilarme, como caigo siempre han llegado a la conclusión de que no tiene gracia.

[#107 --165145--]

#106, tú no sabes la de parrafadas que he llegado a escribir aquí en menéame contestándole a alguien y justo antes de darle al botón enviar decirme "para qué, si va a seguir pensando lo mismo" y borrar todo lo que había escrito

[#94 fantomax]

#93 Bueno, pon problemas por allí si los encuentras.

[#95 maria1988]

#94 Claro, a ver si me animo, que conozco unos cuantos chulos.

[#97 fantomax]

#95 Me encantará verlos.

[#109 --432051--]

#90 Pero entonces pq estan con lavpregunta de si los primos son menos que los naturales？

[#98 vet]

#96 orig00.deviantart.net/9f53/f/2013/081/c/1/sexyelephant_by_neko_spiate-

[#99 maria1988]

#97 Ya he publicado uno. Tengo muchos, voy a contenerme y ponerlos poco a poco

[#100 fantomax]

#99 Gracias, me alegra.

[#114 maria1988]

#108 La demostración de que los cardinales de los irracionales y los naturales son diferentes es muy simple. Sean R los reales, Q los racionales, I los irracionales y N los naturales. Sabemos que:
1. R=Q U I
2. C(Q)=C(N) (prueba de biyección)
3. Por 1., tenemos que C(R)=C(Q)+C(I) --> C(I)=C(R)-C(Q)
4. C(R)-C(N)=C(R) (aritmética de infinitos de Cantor)
5. Por 3. y 4., tenemos que C(I)=C(R)

Como, además, ya se ha probado que C(R)>C(N), entonces C(I)>C(N)

[#115 fantomax]

#114 Lo que mola es ver que los trascendentes son innumerables y los algebraicos no.

[#116 maria1988]

#115 Y el número de superficies minimales, por ejemplo, también recuerdo que era no numerable (algo que parece tan pequeño).
Otra cosa que me marcó fue descubrir que un conjunto denso en R, los racionales, fueran numerables. Es una de "¿cómo es posible?"

[#117 fantomax]

#116 Hombre, y que además hay cosas con medida de Lebesgue cero que te dejan , como el conjunto de Cantor.

[#118 --165145--]

#108, hoy mismo te he dicho que los caminos de un grafo con forma de árbol (concretamente tu ejemplo ese con 10 hijos por nodo) son más que las aristas.

[#121 fantomax]

#118 Creo que estamos ante un problema de hablar idiomas distintos. No se puede afrontar una demostración matemática como el diseño de un algoritmo, son tareas muy distintas. Y si hay un par de ramas de sutilezas ocultas yo diría que son la teoría de conjuntos y la lógica.

[#150 --432051--]

#121 Puede ser, pero esa afirmacion esta muy clara. Debes desmontarla diciendo que N no es equipotente con las aristas, o que los caminos infinitos no son un conjunto equipotente con los subconjuntos infinitos de N.

Pero negarla por si misma, aislada... lleva a absurdos

[#148 --432051--]

#118 Entonces como explicas que la resta de los polinomios que dan la cantidad de aristas, y el polinomio que da la cantidad de caminos, restado, SIEMPRE da mas aristas que caminos... si el nivel es finito... pero luego magicamente, cuando el nivel es infinito, esa tendencia se revierte.

Y recuerda, un grafo arbol en cual todos los nodos tienen el mismo numero de hijos.


Si lo que dices fuese cierto, y hubiesen mas caminos que aristas, la resta de aristas menos caminos debería dar menos infinito, pero da +infinito.

[#162 --432051--]

#118 Fijate una cuestion...
tenga el tamaño que tenga un grafo, incluso infinito...

En el ”ultimo nivel”, esté donde esté... necesitaré una arista por cada nodo hoja.

Si hay menos aristas, que nodos hojas... algun nodo hoja se quedará inconexo.

Cada camino, tiene al menos UNA arista, la ultima, que lo hace único. Si hay menos aristas que caminos... no se como iria eso.

Todas esas propiedades, y sabiendo que siempre hablo de caminos de la raiz a las posibles hojas... y que el grafo está…   

[#119 maria1988]

#117 Uff, yo eso lo vi en análisis funcional y fue una asignatura que nunca llegué a entender del todo. Eso y la geometría de quinto, que no sé ni cómo aprobé.
Luego en cambio la topología me fascinó, y el álgebra de cuarto y el análisis convexo también me pareció de lo más guay.
La estadística era fácil, pero siempre me ha parecido una especie de pseudomatemáticas (con todos mis respetos a los estadísticos).

[#123 --165145--]

#119, te explico lo de Cantor si no te quedó muy claro

Supongo que sabe que consiste en coger el intervalo [0,1], lo divides en 3 trozos iguales y le quitas el intervalo central (le quitas el intervalo abierto, los extremos siguen en el conjunto). Te quedan 2 intervalos cerrados, repites el proceso en cada uno y así sucesivamente.

¿Por qué tiene medida 0? El intervalo unidad tiene medida 1. Le quitas un tercio en el primer paso, tiene medida 2/3. Y en cada paso le quitas un tercio…   

[#124 fantomax]

#123 A tí nombrarte el análisis funcional...
A mí me lo dio Bombal, qué gran hombre.

[#125 --165145--]

#124, ¿estudiaste en la Complutense? Lo digo porque el Bombal que conozco en persona y que además es de análisis está allí, aunque no sé si antes estaba en alguna otra universidad. Por la complutense estuve en una estancia de 3 meses.

[#126 fantomax]

#125 Sí en la Complu. Y Bombal es un semidiós, así que ni una palabra en su contra.

[#131 maria1988]

#123
Creo que es la primera vez que entiendo cómo se calcula la medida de Lebesgue ¡gracias! Mi error fue no coger Teoría de la medida (en mi universidad era optativa), lo que me hizo entrar en análisis funcional cojeando desde el principio.
Por cierto, yo el conjunto de Cantor lo vi en Teoría de Fractales, no en análisis funcional. También me acuerdo de que había funciones que eran continuas en todos sus puntos pero no derivables en ninguno.

[#136 --165145--]

#131, ¿de qué universidad eras tú? A mi tampoco me lo explicaron en funcional. Por cierto, en mi universidad también era optativa la de teoría de la medida.

[#138 maria1988]

#136 De la de Alicante. Luego hice un máster en la UCM. Ahí fue cuando vi que la formación era muy distinta en función de dónde estudiaras. Por ejemplo, yo vi muchísima estadística (dos o tres asignaturas al año: probabilidad, análisis de datos, procesos estocásticos, series temporales...) y bastante economía (teoría de la decisión, juegos cooperativos y no cooperativos, microeconomía avanzada...), pero luego, por ejemplo, no vi nada de aplicaciones a la física (nada, literalmente).

[#140 --165145--]

#138, Alicante, 1988 debe ser tu año de nacimiento, empezarías sobre el 2006... ¿Sabes que yo podría haber estado dando clases en Alicante desde 2009? Porque conseguí una plaza en Cartagena sobre un mes antes, si no habría ido allí. Podría haber sido tu profesor

[#141 maria1988]

#140 ¿En serio? ¡Qué fuerte! Yo estuve a punto de ir a Murcia, pero al final me decidí por Alicante (sí, soy de la promoción 2006-2011). ¿En Cartagena está la carrera de matemáticas? Creía que de la Región de Murcia solo la tenían en la capital, que en Cartagena lo que había eran más ingenierías.

La verdad es que estoy bastante contenta con la elección. Los profesores eran buenos (había de todo, claro está, pero la mayoría muy bien), aunque tampoco puedo comparar. En la complu hice el máster y también muy contenta con los profesores, aunque las instalaciones dan bastante pena. El campus de San Vicente (de la Universidad de Alicante), en cambio, es una pasada.

[#142 --165145--]

#141, es que los ingenieros también necesitan matemáticas y es la plaza que salió por entonces, ya empezaban a ser excasas, tampoco era cuestión de ponerse exigente. Por supuesto que me habría gustado más dar clases en una facultad de matemáticas, pero qué le vamos a hacer. Vamos, que efectivamente, en Cartagena no hay carrera de matemáticas.

¿Qué vives o vivías? ¿Entre Murcia y Alicante?

P.d. al final hemos pasado a hablar de nuestras vidas

[#143 maria1988]

#142 Vivía en Torrevieja, las dos me pillaban igual de cerca (y Cartagena también).

[#144 --165145--]

#141, ah, que acabo de ver tu edición. De Alicante conozco a Salvador Segura que de hecho estuvo en la Universidad de Murcia hasta el curso 1999-2000, que justo ahí me dio clases a mi en segundo. Alguno más conozco que ha estado por ahí pero que no sé si sigue.

[#145 maria1988]

#144 A mí también me dio clase, de geometría en segundo y en quinto. Por lo que sé, sigue en activo. Hace poco se celebró el vigésimo aniversario de la titulación, presentaron un libro, hubo algunas charlas... Fui allí y seguían casi todos mis profesores, entre ellos Salvador.
Lo recuerdo especialmente porque fue el que hizo la gracia del globo que comenté en www.meneame.net/m/clublectura/encuesta-libro-leer-septiembre-2017/c04#
También me acuerdo de que se negaba a colgar nada en el campus virtual, y lo llevaba todo fotocopiado. Y que si querías contactarle, había que llamarlo por teléfono porque el correo electrónico no lo usaba.
Luego las clases muy bien, jajaja.

[#147 --165145--]

#145, leí ese comentario pero no lo asocié a él

[#146 maria1988]

#144 Por cierto, si conoces a alguien, ya te digo yo que siguen. Fui y estaban todos: Valentín Jornet, Miguel Ángel Goberna, Salvador Segura, Juan Manuel Conde, Marco Antonio López... Lo más curioso es que pusieron fotos de cuando empezó la titulación en el 97 y estaban casi todos, y apenas habían envejecido. Esta gente es más eterna que Jordi Hurtado.

[#137 fantomax]

#136 ¿Cómo no enamorarse de quien te explica y demuestra el lema de Vitali?

[#135 fantomax]

#131 La teoría de la medida la hice con un hombre encantador, Fernando Cobos Díaz.

[#120 fantomax]

#119 Yo con la que me estanqué que te cagas fue con la Investigación Operativa. Fui incapaz de todo punto de memorizar el puto simplex y otros algoritmos. Cuando pusieron un examen en el que el 50% era de modelizar saqué un 5

[#122 maria1988]

#120 Yo en esa tenía a un profesor bastante cabrón. Dejaba llevar todo el material que quisieras al examen (fue mi primer examen con apuntes) y luego los problemas eran imposibles. Yo la tenía anual, y hacía media a partir de 4. En el primer parcial (febrero) saqué un 4,8 y fui a revisión. Llego y el profesor contentísimo y felicitándome por lo bien que había hecho el examen, al parecer, mi nota era una de las más altas de la clase.
En el segundo cuatrimestre, se puso enfermo y lo sustituyó una mujer con la que todos sacamos aproximadamente el doble de nota que en el primer parcial.

[#127 --165145--]

#126, en los 3 meses que estuve de estancia allí los doctorandos de análisis que allí había se les notaba que tenían hacia Bombal un sentimiento de respeto y acojone a partes iguales

[#128 fantomax]

#127 Nunca le he visto tratar mal a nadie, incluso diría que era especialmente generoso en algunos aspectos y que a mí personalmente me tuvo un aguante bastante grande. Pero las clases eran muy exigentes, recuerdo claramente oir algo interesante y leer al mismo tiempo otra cosa también interesante y no llegar, acabar con la lengua fuera casi todos los días. En 15 minutos te daba lo que otro en un mes, con más pasión y mejor explicado, pero morir de cansancio es poco decir.

[#130 --165145--]

#128, lo del acojone era no porque los tratara mal sino porque el sería el ip del proyecto en el que estaban y digamos que para el dinero para congresos, estancias y demás pues dependían de él, pero no que los tratara mal.

[#132 fantomax]

#130 Ya te digo que trabajar con él es exigente, es un hombre capaz de unos ritmos curiosos.

[#129 fantomax]

#127 ¿Conociste a David Pérez?

[#133 --165145--]

#129, sí, él ya era doctor por entonces y le iba ya muy bien. He coincidido con él en un montón de congresos.

[#134 fantomax]

#133 Otro grande. Si no me recuerda a mí conoce bien a mi pareja.

[#139 --165145--]

#137, yo es que soy heterosexual, pero aunque fuera bi, creo que no me habría enamorado de quien me lo demostró a mi, ¿eh?

[#152 --165145--]

#148, la cantidad de aristas y caminos finitos, que es lo que realmente creo que estás comparando con esa resta si tienen el mismo cardinal. Pero ahí no puedes tomar límites. Es como las partes de N que no es numerable, o las partes finitas de N (conjunto de subconjuntos finitos), que sí es numerable.

[#153 --432051--]

#152 No no, la de caminos infinitos... haz la resta para un nivel k... en ese caso son caminos finitos, ok, pero puedes escribir las formulas dependiendo de dos variables: nivel y numero de hijos.

Si esas variables tienden a infinito, te da una idea de como crece la diferencia cuando el nivel se va haciendo infinito... y
siempre crece.

La formula de caminos para un GAR de nivel k es hijos elevado al numero de niveles (empezando los niveles en el cero).

Eso te da “la cantidad” de caminos,…   

[#161 gonas]

#86 #77 Divide un metro en infinitas partes, si suma esas infinitas partes medirán un metro.

[#163 --165145--]

#162, de nuevo, estás olvidándote de los caminos infinitos. Estos no los consideras en ningún nivel, nunca los metes en tu recuento de aristas vs caminos. PUNTO.