El trabajo de Milnor y Kervaire permitió determinar el número de esferas exóticas en todas las dimensiones, salvo en dimensión n=2k-2, para k>1, es decir, para n=2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, … En estas dimensiones especiales calcularon el número salvo un factor de 2. ¿Por qué? Porque no fueron capaces de calcular cierto invariante algebraico (el invariante de Arf, el nombre de un matemático turco) para todas las esferas exóticas en dicha dimensión. Para dimensiones n≠2k-2 el invariante siempre vale cero (lo demostró William Browder en 1969)
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