gaussianos

Lva2, nueva revista de divulgación matemática del grupo "Retos Matemáticos" [5]

1. #4 eldarel

   #3 Ignoraba que estuvieses también por aquí.
   ¡Suerte con esta aventura!

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La función f(x)=1/x y una discusión continua [200]

1. #199 grigori *

   #198 No te esfuerces en explicar lo que querías decir, y céntrate en la puñetera frase que has dicho . Por supuesto que la negación de "es continua" es "no es continua" . Lo que no es una negación de "es continua" es "es no continua", eso es lo que ya te dije hace varios comentarios que es lo que te está liando. Si no es continua, puede que no sea nada o puede que sea otras mil otras cosas, pero lo que está claro es que continua no es, de la misma forma que lo contrario de "es rubio" es "no es rubio", lo cual no obliga a que sea moreno, sino que puede ser pelirrojo, castaño o incluso calvo (que sería el equivalente a no ser nada: ni rubio, ni moreno, ni continuo ni no continuo ).
   
   Si quieres seguir con esto, Intenta expresar tu frase con predicados y proposición lógica, como hice yo, y entonces te lo explico a partir de ahí

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1. #197 grigori

   #196 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo
   
   Lo dice la frase
   
   Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":
   
   "Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."
   
   Tu frase no dice eso!!
   
   Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'
   
   Por supuesto. El tema es que "no es ni continua ni no continua" => No es continua. Y tu frase está diciendo que sí puede ser continua
   
   Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo)
   
   Pero cómo que no??
   
   cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.
   
   Cambiando significa por implica, la frase queda:
   
   "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no implica, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"
   
   Y el significado sigue siendo el mismo: no implica, necesariamente, que no sea continua => puede que sea continua. Joder, no lo veo tan difícil de entender... Ya que hablas de implicación y somos matemáticos, lo único ya que se me ocurre para que lo veas es que expreses la frase como proposición lógica y compruebes que es verdadera cuando la función es continua en el punto:
   
   no(discontinua => no (continua))
   
   discontinua=V
   continua=V
   no(continua)=F
   V=>F = F
   no(F) = V
   
   Estoy usando "=" como símbolo de equivalencia. Como ves, la proposición es verdadera cuando la función es continua y discontinua en el punto, lo cual es absurdo.

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1. #195 grigori *

   #194 "Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua"
   
   Lo que has dicho ha sido, textualmente:
   
   "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"
   
   Precisamente el hecho de que pueda no ser ni continua ni discontinua en el punto es lo que hace incorrecta tu frase, te está liando la doble negación unido a que son tres posibles casos, no dos. No tiene nada que ver ni con "mi" visión de continuidad ni con "tu" división de continuidad, insisto una vez más. Sustituye "continua", "no continua" y "ni continua ni no continua" por "A", "B", "C", y lo verás más claro. Asumimos que "discontinua" se contradice con "A". La frase ahora es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea "A"". Si "no significa, necesariamente, que no sea A", significa que podría ser "A" (continua), lo cual parece que estamos de acuerdo en que es absurdo.
   
   Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada
   
   Pero es que tu frase también está abriendo la opción a que sí sea continua!!
   
   Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.
   
   Yo sí espero que ahora hayas entendido lo que quiero decir, porque parece que ni te molestas en leer lo que digo. Te estoy diciendo que no tiene nada que ver con tu idea de "discontinuidad" y sigues erre que erre con lo mismo. Te dije hace varios comentarios que, por supuesto, la función puede no ser ni continua ni discontinua en un punto, pero parece que ni me lees. Es un problema semántico, tu frase es incorrecta porque no expresa lo que crees que expresa.

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1. #193 grigori

   #192 ¿Tu idea de discontinuidad permite que la función tenga una discontinuidad en un punto y al mismo tiempo sea continua en ese punto?. Porque justo eso es lo que estás diciendo... Dices que has intentado explicarlo "mucho", pero lo único que repites es que para ti no es lo mismo "discontinuidad" que "no continuidad", lo cual está más que claro, pero es que el problema no es ese.

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1. #191 grigori *

   #190 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto".
   
   Yo sí la he visto, al menos, como ya dije, en el Marsden-Tromba. En ese caso, además, se mojan también definiendo "función discontinua", a secas, como aquella función que es discontinua en algún punto de su dominio. Y ya digo que es la definición que me parece más lógica, aunque esto es opinable, claro
   
   Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.
   
   Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto"
   
   Yo también repito que para mí tampoco es lo mismo "discontinuidad de una función en un punto" que "no continuidad en un punto", pero por distintos motivos que los tuyos: para mí discontinuidad implica que el punto pertenece al dominio de la función. Relee tu frase, lo que probablemente querías decir es "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que sea no continua en dicho punto". Puede parecer lo mismo, pero no lo es, lo que estás diciendo es que podría darse simultáneamente una discontinuidad y una continuidad en el mismo punto, y eso es absurdo, independientemente de la definición de discontinuidad que tomes.
   
   Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.
   
   Eso si consideras que puede haber discontinuidades fuera del dominio de la función. Pero, en cualquier caso, yo me refería a que no es necesario siquiera introducir el concepto de "punto de acumulación"; los conceptos de número real, límite, función continua y discontinuidad…   » ver todo el comentario

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1. #189 grigori *

   #188 Uno de los problemas que tenemos con este tipo de cuestiones es que no haya un organismo que estandarice las definiciones y notaciones matemáticas.
   
   En el Mardsen-Tromba, claramente dicen que el punto tiene que pertenecer al dominio para que sea discontinua en él. Y esta definición la verdad es que es la que me parece más adecuada e intuititiva, por analogía con la de función continua. Sin embargo, está claro que no es la única, de hecho esa definición se carga el concepto de "discontinuidad evitable" que se ve en muchos sitios y que incluyen puntos fuera del dominio. Las otras fuentes que he consultado son el Spivak, que tampoco aclara nada, y los apuntes de 1º y 2º de carrera, donde mencionan las discontinuidades evitables, de primera especie y de segunda especie; pero omiten la definición de "función discontinua en un punto".
   
   La clasificación más completa que he visto está en la Wikipedia (y, aún así, define función continua y, como casi siempre, omite la definición de función discontinua). Distingue entre discontinuidad evitable y esencial y, dentro de esta última, de primera especie y de segunda especie. La novedad que veo aquí con respecto a los libros que tengo es que, en la de primera especie, distingue entre de salto finito, de salto infinito y asintótica.
   
   es.wikipedia.org/wiki/Clasificación_de_discontinuidades
   
   De la definición que das de "discontinuidad" después de recopilar varias fuentes, yo diría que sobra, al menos, la condición del punto de acumulación. En ese caso, yo no diría que es discontinua. Por otra parte, creo que es innecesario, por redundante, introducir conceptos topológicos para explicar las continuidades o discontinuidades en R, sobre todo teniendo en cuenta que muchos de los que participan en este tipo de hilos no son matemáticos.
   
   En cualquier caso, aún con "tu" definición de función discontinua en un punto, no entiendo que digas "el hecho de que una función tenga…   » ver todo el comentario

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1. #187 grigori

   #184 Olvida parte de lo que he dicho en el comentario anterior, en muchas páginas veo que en la definición de "función discontinua en un punto" se necesita que el punto pertenezca al dominio para que la función sea discontinua en él (es decir, definen función "discontinua en un punto" si la función está definida en ese punto, pero no se satisfacen las 3 condiciones de continuidad), pero estoy repasando la bibliografía de cálculo y veo que no es así

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1. #186 grigori *

   #184 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no
   
   Yo no estoy diciendo eso, "discontinuidad" y "no continuidad", efectivamente, no son lo mismo. "Discontinuidad" de la función en un punto implica que el punto pertenece al dominio de la función, "no continuidad" no implica que el punto pertenezca al dominio
   
   - La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.
   
   Estamos de acuerdo en esto. Añado aquí que la discontinuidad de una función también tiene sentido solamente en puntos del dominio.
   
   - ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?
   
   No
   
   ¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas?
   
   ¿Tiene que ver con qué? Yo lo que quiero decir es que nadie va a dudar de que f(x)=ln(x) es continua, por lo que no veo qué aporta ese ejemplo didácticamente. Tú mismo has dicho que lo que está liando a la gente es que ven que la gráfica de f(x)=1/x no puede escribirse sin levantar el lápiz del papel, mientras que f(x)=ln(x) sí se puede.
   
   Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?
   
   Claro. Por eso digo que no le veo sentido a la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". f(x)=ln(x) no es discontinua en ningún punto, y la afirmación que haces es falsa, según la definición de función discontinua en un punto. Es decir, "discontinuidad en un punto=>no continuidad en ese punto", mientras que "no continuidad en un punto/=>discontinuidad en el punto"

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1. #183 grigori *

   #181 Yo creo que, didácticamente, no aporta nada, porque x=0 está a la izquierda de la función f(x)=ln(x), mientras que x=0 está en el "medio" de la función f(x)=1/x, que es lo que entiendo que está liando a la gente.
   Por otra parte, la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto" es desafortunada, cuando no errónea. El concepto de "función discontinua en un punto" creo que es formal, al igual que "función continua en un punto", al menos veo la definición en la Wikipedia y en multitud de páginas. La función f(x)=ln(x) no es discontinua en x=0, ni tampoco continua, ya que ese punto no pertenece al dominio de la función.

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1. #2 --165145-- *

   Precisamente vi esta discusión en Twitter, porque el tweet que se menciona que empieza la discusión es precisamente de un compañero de departamento.
   
   Y como matemático que soy, suscribo todo lo que dice @gaussianos en su blog.
   
   Resumo que a muchos os gusta más mirar los comentarios que los artículos: al hablar de continuidad de una función, solo se puede hacer en el dominio y el 0 no pertenece al domino de la función 1/x. Así que la función es continua en todos los puntos de su dominio.
   
   Y añado algo que no viene en el artículo. En realidad la definición general de función continua entre dos espacios topológicos es que la antimagen de todo conjunto abierto* es un conjunto abierto, no depende de la continuidad punto a punto. Y es fácil comprobar que así es en esta función.
   
   P.d. *abierto: en R un conjunto abierto es aquel que se puede poner como unión de intervalos abiertos. Para comprobar la definición de continuidad no hace falta comprobarlo con la antiimagen de todo abierto, sino que bastaría comprobarlo con la antiimagen de cada intervalo abierto.

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Primos que generan primos: el teorema de Scherk [45]

1. #44 el_guti

   #43 si, pero son otros los que piensan por ti

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1. #41 MoñecoTeDrapo

   #31 al final, siendo "por convenio", puedes considerarlo primo o no, "según convenga"

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1. #40 el_guti

   #39 pero ese número primo p no es divisor unico nunca entre p y p^2 de ningún numero contenido en ese tramo y gracias a eso puedo hacer la excel que dice si un número es primo o no y en el caso que no lo sea indica los factores primos. intenta hacerla, te aseguro que no es fácil

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1. #39 gaussianos

   #38 No es por desanimarte, pero estás perdiendo el tiempo:
   
   - Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 ó 6n-1 (para algún n entero positivo). Te lo demostré en #32.
   
   - Para todo primo p, se cumple que el único divisor propio (es decir, divisor que no sea el 1 o el mismo número) de p^2 es el propio p. Esto es evidente por el hecho de que p sea primo.
   
   Vamos, que testar si un primo es de uno de esos tipos es una pérdida de tiempo (seguro que lo és), y confirmar que el único divisor (propio) de p^2 es p también es perder el tiempo (porque es cierto para todo primo).

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1. #38 el_guti

   #36 he dedicado un tiempo buscando primos por métodos propios y llevo más de 75.000 terminos testados y más de 7000 primos listados y hasta ahora excepto el 2 y el 3 todos están contenidos en ese conjunto (6n+1 y 6n-1) y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo. también he hecho una hoja excel que identifica si un número es primo o no lo es hasta el 160800

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1. #37 --165145--

   #35, ya, si eso ha quedado claro con el enlace que ha puesto otro usuario. Y tú solo has puesto la formulación original, ninguna pega, desde luego.

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1. #34 el_guti *

   #32 has leido ... el pero? ".....pero no todos los multiplos de 6 más 1 o menos 1 son primos. " por eso digo están contenidos en el conjunto pero no que todo el conjunto sean primos. es que no sé si lo he expresado bien, ya que no soy matemático, solo un curioso.

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1. #33 --165145--

   #31, se puede reescribir sin meter el 1, tipo "dista 1 de una suma de los primos anteriores".

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¿Cuál es la raíz cuadrada de 16? [220]

1. #219 Perico_Cruel

   #207 Para aquellos que seguimos de cerca la divulgación científica de toda la vida de dios, Gaussianos es un blog importante en español, que aunque uno no lo siga explícitamente, siempre va a encontrar; me he topado con sus artículos miles de veces.
   
   Mi comentario, que efectivamente no es más que la opinión de un don nadie, releyendolo ahora, es injusto, pues digo que es "muy, muy floja" de forma despectiva y sin atender a qué me refiero y sin contexto. Lo que debería haber detallado, en vez de despacharlo así de rápido, es que Gaussianos (desde mi punto de vista) es un blog de divulgación blanca, es decir, que pretende llegar al máximo de personas, y por lo tanto puede llegar ser muy superficial como entiendo que ha sido en este artículo, y como muchas veces he constatado.
   
   Me alegra de verdad que nunca te hayan dicho que es muy , muy floja.

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1. #214 Nylo *

   #203 por cierto, √4+√9+√16 tendría en todo caso 6 resultados, no 8, porque el +1 y el -1 saldrían repetidos
   </quisquilloso>
   
   Edit: y la que dices no es la única convención de esa expresión. También tenemos que cuando se omite el numerito en la parte de arriba de la raíz nos referimos a la raíz cuadrada en particular, y no a ninguna otra raíz. Alguien que tampoco conociese esa convención encontraría no 6 resultados sino infinitos resultados a esa expresión.

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1. #213 Nylo *

   #203 Soy "el tío este" [...] no ganas nada con el tono que has usado en tu comentario.
   
   Tienes toda la razón, no gano nada. Pero no pierdas de vista que el comentario no iba dirigido a ti. Soy yo hablando con otro sobre algo que ha escrito un tercero al que no conozco ni está en la conversación ni tiene por qué leerla nunca. Quien no haya hecho nunca un comentario despectivo sobre alguien basado en una única anécdota conocida de él, que tire la primera piedra. Esto es como cuando insultas a un futbolista de tu equipo o dices de él que es más malo que pegar a un padre porque falla una ocasión clara. Nunca se lo dirías a la cara y tampoco lo piensas en realidad. Lo haces porque estás en tu casa viendo la tele y no te va a oir. Es una forma de desahogo que no tiene por qué hacer mal a nadie. Podrías decir simplemente "qué lástima que este chico se haya equivocado en esta ocasión", pero eso no libera la tensión acumulada igual .
   
   Me mantengo en que lo de que √4=2 y sólo 2 es una mera convención. Que oye, tampoco tiene por qué parecerme mal que se adopte, pero sólo es una convención. Eso es lo que entendí que faltaba por indicar en el artículo. Que aunque haya dos números reales cuyo cuadrado es cuatro, cuando usamos la expresión √4 nos estamos refiriendo sólo al positivo, por convención.
   
   Pero sería interesante ver cómo le explicas a mis alumnos que la expresión √4+√9+√16 tiene ocho resultados...
   Por poder, podría tenerlos, pero me cuesta imaginar un problema en el que haya que resolver esa operación en particular y donde fuesen válidos los ocho posibles resultados, más que en uno cuyo enunciado sea "resuelve esta operación", y que serviría para verificar que se entienden determinados conceptos y nada más, no tiene utilidad práctica. Es como esos problemas de "resuelve 2+2×2", sirve para verificar si se entiende lo de la prioridad de las operaciones y se contesta 6 o si no se entiende y se contesta 8…   » ver todo el comentario

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1. #212 Tensk

   #211 No me van a hacer cambiar de "opinión" (pongo las comillas por cuestiones semánticas) si los argumentos van a ser los mismos y, de hecho, no me imagino qué argumentos podrían hacerme cambiar de "opinión" (comillas semánticas de nuevo). Así que mejor nos ahorramos tiempo.
   
   Por cierto, me encanta el surrealismo de dar un rodeo, llamándole sólo raíz a |x| y decir que éste sirve para calcular que "existe otro" valor que cumple lo mismo que queríamos "invertir" (más comillas semánticas) al principio, en vez de decir que son tanto X como -X los valores de raíz de X².
   
   Saludos.

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1. #210 Tensk

   #209 Ah, la semántica, qué recuerdos también de E.G.B., de cuando se estudiaba semántica, gramática, los morfemas...
   
   No. A mí cuando me enseñaron las operaciones empezaron por la suma, y luego por la resta, que venía siendo "algo así" como lo opuesto de sumar. Tenías cinco y cuatro, sumabas y tenías nueve. Tenías nueve, restabas cuatro y volvías a tener cinco. Con dos elementos obtenías un tercero (teniendo en cuenta que la suma es conmutativa y la resta no). Después con la multiplicación y la división pasaba algo equivalente.
   
   Y al final estaba la potencia, que era como una especie de caso particular de la multiplicación. Si quieres, una notación particular de la multiplicación para casos concretos. E igual que las anteriores, tiene una especie de inversa llamada "raíz cuadrada". En este caso con la particularidad de que como X² = (-X)², esa raíz cuadra implica que tiene que dar esos dos valores. Sencillo.
   
   ¿El valor de arcsen(0)? Siguiendo tu razonamiento debería ser 0. En la práctica es n*Pi, (n un entero).
   
   Pero oye, si quieres vamos a ir un poco más allá porque recuerdo perfectamente la insistencia de mi profesor de matemáticas con esto. Cuando resuelves una integral, al menos que yo recuerde siempre se hace así (si hay alguna excepción no lo recuerdo, ya hace muchos lustros que no hago integrales, no vivo de ellas), al resultado siempre le añades al final un "+C", indicando implícitamente que hay infinitas soluciones.
   
   No sé si es que a lo mejor no te ha coincidido leer algún comentario donde lo dijese o es que has preferido obviarlo: no pasa nada con que las operaciones (o como quieras llamarlo, te dejo la semántica para ti) puedan dar más de un valor (voy a llamarlo valor por decir algo, porque a mí me sirve lo mismo llamarlo valor, solución, resultado o Paquito). Es después labor tuya el saber interpretar lo que tienes.

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1. #208 Tensk

   #206 Encantado.
   
   Sí me leí el artículo o no habría comentado. Ya sé que suena raro en estos alrededores pero a veces hago esas cosas, un defecto que tengo. Y sigo sin estar de acuerdo, obvio, por todo lo que he dicho en ese y otros comentarios que no voy a repetir aquí, si quieres te los lees pero quiero pensar que tendrás mejores cosas que hacer.
   
   En cuanto a eso que comentas en concreto, sí, hablamos de una ecuación la cual resuelves ¿cómo? usando una raíz cuadrada, y la raíz cuadrada de un número X tiene dos valores, de misma magnitud y de signo contrario. En caso contrario estarías diciendo que, bah, uso la raíz cuadrada y, a mayores, me saco de la manga que el signo negativo también vale como solución a la ecuación, pero ojo, eh, que no es nada que tenga que ver con la raíz cuadrada. Vamos hombre.
   
   Te recomiendo Afterbite o Alergical.

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