Clásico video del hotel infinito ampliado con conjuntos no numerables y de donde salen los números reales y referencias a la incompletitud de Gödel.

Supongamos un hotel con infinitas habitaciones que tiene un persona en cada habitación y llega un nuevo huesped. ¿Cómo asignarle una habitación? Una forma es decir al actual ocupante de cada habitación que se mueva a la siguiente (el del 1 a la 2, el del 2 a la 3, etc), dejando por tanto libre la 1. ¿y si llega un autobús con infinitos nuevos huéspedes? Una solución es mandar a los actuales ocupantes a la habitación cuyo número sea el doble que el actual (1 -> 2, 2-> 4, 3 ->6), dejando todas las impares libres. ¿y si llegan infinitos autobuses?

“Cualquier niño de las calles de Gotinga sabe más de geometría cuatridimensional que Einstein. Sin embargo y a pesar de eso, Einstein hizo el trabajo, no los matemáticos”. David Hilbert. Me tropecé con esta frase de David Hilbert casi por casualidad y me ha dejado pensando bastante, tanto que he visto que había material para una entrada de blog. Hilbert tuvo contacto con Einstein mientras este bregaba con la Relatividad General, la teoría posterior a la relatividad especial, que incluía la gravedad y que era aún más rompedora.

El infinito es un concepto difícil. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5…) es infinito, y parece más o menos razonable pensar que el conjunto de los números naturales pares, por muy infinito que sea, tendría que ser más pequeño que el primero, exactamente la mitad de pequeño que este.Pero no es así. El matemático alemán David Hilbert propuso el Hotel Infinito, explicado en este vídeo, como una forma de explicar algunas de las curiosas paradojas del infinito.

Entre 1950 y 1959 el genial John Forbes Nash Jr. revolucionó varias áreas de las matemáticas. Si un problema no era imposible, no merecía su atención. Pero sucumbió ante la esquizofrenia cuando se enfrentó al problema matemático más difícil de todos, la hipótesis de Riemann, aún abierto. En la década en la que estuvo activo se enfrentó a los problemas más difíciles con un enfoque siempre nuevo y revolucionario; no le gustaba estudiar lo que otros habían hecho para no sesgar su propio enfoque. Si otros habían fracasado por cierto camino...