La diagonal del cuadrado llevó a los pitagóricos al perturbador descubrimiento de los números irracionales. La demostración de que √2 no puede expresarse mediante una fracción es tan ingeniosa como sencilla por el método de reducción al absurdo, es decir, viendo que el supuesto contrario lleva a una contradicción

Para empezar, ¿cómo se compara el tamaño de dos conjuntos infinitos? Digamos, sin meternos en cuestiones demasiado técnicas, que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos cuando podamos ir cogiendo un elemento de cada conjunto y emparejarlo con un elemento del otro, de modo que todos los elementos queden emparejados y que sean monógamos (osea, a cada uno le toca una sola pareja). Relacionada: www.meneame.net/story/dos-matematicos-han-probado-dos-infinitos-difere

El creador de la teoría de conjuntos, Georg Cantor, miró a la cara al infinito y creó un nuevo tipo de números para cuantificarlo: los números transfinitos, que nos permiten contar distintas especies de infinitos. Es toda una hazaña intelectual que nos demuestra lo filosóficas que son las matemáticas y cómo una idea simple y fácil de entender (contar un conjunto es relacionarlo con otro conocido) puede llevarnos al asombroso descubrimiento de que unos infinitos son más grandes que otros...

"Lo primero que consideré interesante para comentar fue distinguir entre “una cantidad muy grande” y “una cantidad finita” utilizando la conocida leyenda del ajedrez. En ella se cuenta cómo Sissa inventó el ajedrez a petición de un rey que estaba aburrido y que éste, muy agradecido por el juego, le ofrece a Sissa lo que él quiera. Éste pide la cantidad de granos de arroz que quedarían en el tablero del ajedrez si ponemos 1 grano en una casilla esquina, 2 granos en la de al lado, 4 en la siguiente, y así sucesivamente"

A finales del siglo XIX el original matemático Georg Cantor propuso una bella teoría sobre los números finitos o transfinitos, según la cual el número total de fracciones, números enteros y números naturales son el mismo número transfinito al que llamó Aleph sub-cero. A primera vista no parece algo razonable, pues se podría pensar que el número de enteros es mayor que el número de naturales, ya que todo número natural es un entero mientras que algunos enteros (los negativos) no son números naturales.

Aquí se explica qué es lo que normalmente entendemos por infinito y la manera matemática de tratarlo, evitando las ambigüedades y los problemas que aparecen al explicarlo a través de metáforas. Muestra el modo como este concepto fue formalizado por Cantor y explica la teoría de los transfinitos (Infinitos de distinto "tamaño"), la conjetura del continuo y los axiomas de infinitud. Relacionada: meneame.net/story/dividir-por-cero