Por qué la gente dice 99 en este problema

Circula por internet la siguiente imagen:

No dejaría de ser una de esas preguntas de facebook o linkedin con miles de respuestas, y que no entiendo por qué la gente se esfuerza en contestar, si no fuese por un detalle: ¿por qué en las redes sociales casi todo el mundo contesta 99?

Cuando este problema llega a una persona con un transfondo matemático, se suele aventurar a decir que la respuesta es 98, y no 99. Esto es porque normalmente ve dos variables y una solución, así que escribe lo siguiente: f(x, y) = z. A partir de ahí suele plantear 3 hipótesis:

Hipótesis 1: f(x, y) = x*y + y -1

Fácilmente se puede comprobar que se cumple para todos los términos presentes, y que f(10,9) = 98

Hipótesis 2: f(x,y) = x^2 - 2

Es una hipótesis que me gusta menos. Suelo considerar que, salvo que se demuestre lo contrario, las variables de entrada están ahí para ser usadas. Aun así, con esta hipótesis, también vemos que f(10,9) = 98

Hipótesis 3: f(x,y) = (y+1)^2-2

De nuevo estamos ninguneando a una variable de entrada, en este caso a la x, cosa que podemos hacer dado que para todos los ejemplos que tenemos se cumple que x = y + 1.

Haría falta una fila de ejemplo con dos números x e y en los que no se cumpla x = y + 1 para poder descartar o no las hipótesis, pero por el momento la 1 es mi favorita.

¿Por qué, en cambio, la gente sin transfondo matemático suele contestar 99? Porque tienen menos el concepto de función algebraica y más el de serie: desde pequeñitos nos educan para tratar de ver patrones en las series numéricas, y mentalmente añadimos un concepto artificial: el orden. Así que mentalmente, para resolver, la gente suele hacer una sencilla operación cercana a los resultados. Así que lo que hacen es esto:

Lo que mentalmente están haciendo es que resuelven una parte fácil (x*y) y para el resto ven una progresión 1,3,5,7... pero entonces están añadiendo una variable a la función: el número de fila. Supongamos que las filas comienzan a contar en 0, la función que desarrollan es f(x,y,r) = x*y+r*2+1

Por desgracia es a lo que nos han enseñado, a buscar esta linearidad en las series. Pero, ¿por qué no llevarlo más allá? ¡Que no nos importen ni x ni y! Intentemos resolver la serie sin tener en cuenta las variables, directamente cuál es el siguiente término de 7,23,47,79...

Una de las hipótesis que podríamos plantear en este caso es f(r) = (r*2+3)^2 -2. El problema es que si bien se cumple para todos los términos existentes, el término siguiente de la serie que obtenemos es 119, que se nos hace en principio antiintuitivo.

¡Pero podríamos ir más allá! 7, 23, 47 y 79 son números primos. En concreto 7 es el 4º número primo, 23 es el 9º, 47 el 15º y 79 el 22º. Restando los ordinales obtenemos: 9-4 = 5, 15-9 = 6, 22-15 = 7... podríamos deducir que la solución sería el 22+8=30º número primo, que sería 113.

En conclusión, muchas veces, por causa de la educación, pensamos que la solución a este tipo de problemas está relacionada con series numéricas. Independientemente de ello, por favor ¡no la publiques en mi muro ni en linkedin! ¬¬