Producto de distancias

#3: «#0, ya veo que es demostrarlo, de primeras me pensaba que sería buscar qué polígono cumple esa propiedad. Rápidamente he comprobado algunos casos y efectivamente parece cierto. Me parece una propiedad muy curiosa que no conocía. A ver si saco un rato y lo pienso.»

#4: «Pues creo que lo tengo. Digo más o menos lo que he hecho, saltándome unos cuantos detalles. Lo primero es darse cuenta que las distancias que salen son iguales a 2*seno(m*360º/(2n)) desde m=1 hasta n-1 Esto es fácil verlo si usamos la típica representación del seno en la circunferencia unidad. Luego habría que demostrar que el producto de los términos seno(m*360º/(2n)) desde m=1 hasta n-1 es n/2^n-1. Y para demostrar este producto se utiliza que si descomponemos el polinomio x …»

#6: «#4 Tu argumento me parece muy bien. Escribimos, como tú dices, que x^n - 1 = (x - 1) (1 + x + ... + x^(n-1)) = (x - 1)(x - a2)...(x - an) siendo 1, a2, ... an las raíces n-esimas de la unidad, que forman los vértices de un polígono regular de radio 1. Si cancelamos el factor x - 1 y hacemos x=1 podemos acortar un poco tomando módulos. Entonces tenemos que n = |1 - a2|...|1 - an|, que es el resultado que se pedía.»

#1: «#0 Supongo que el reto consiste en demostrarlo, ¿no?»

#2: «#1 Sí, a ver si alguien se anima!»