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El heptágono es la hermana pobre de los polígonos regulares de pocos lados, el primero que no se puede construir con exactitud con regla y compás. El puzzle que propongo consiste en imprimir estas piezas y con ellas construir una de estas dos opciones (o ambas):
Y si se imprimen dos ejemplares de la imagen, se puede montar un heptágono regular del doble de lado que los dos de antes ( y por tanto el cuádruple de área)
Sea X una variedad compleja conexa de dimensión compleja n. Luego X, es una variedad diferenciable orientable de dimensión 2n, por lo que sus grupos de cohomología residen en grados cero a través de 2n. Asúmase que X es una variedad de Kähler, por lo que hay una descomposición en su cohomología con coeficientes complejos:
{\displaystyle H^{k}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H^{p,q}(X),}
donde {\displaystyle H^{p,q}(X)} es el subgrupo de grupos de cohomología que están representados por formas armónicas de tipo (p, q). Esto es, estas son los grupos de cohomología representados por formas diferenciales que, en una determinada opción de coordenadas locales {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}, puede ser escritas como tiempos de funciones armónicas {\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}}. (Véase Teoría de Hodge para más detalles). Tomar productos exteriores de estos representantes armónicos se corresponde con el cup product en cohomología, por lo que cup product es compatible con la descomposición de Hodge:
{\displaystyle \cup :H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}
Dado que X es una variedad compleja, X tiene una clase fundamental.
Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k, y sea i : Z → X la función de inclusión. Elíjase una forma diferenciada {\displaystyle \alpha } del tipo (p, q). Podemos integrar {\displaystyle \alpha } sobre Z:
{\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .\!\,}
Para evaluar esta integral, elíjase un punto de Z y llámesele 0. Alrededor de 0, podemos elegir coordinadas locales {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}} en X tal que Z sea {\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}. si p > k, entonces {\displaystyle \alpha } debe contener algún {\displaystyle dz_{i}} donde {\displaystyle z_{i}} tienda a a cero en Z. Lo mismo es cierto si q > k. Consecuentemente, esta integral es cero si (p, q) ≠ (k, k).
De forma más abstracta, la integral puede ser escrita como el cap product del grupo de cohomología de Z y del grupo de cohomología representado por {\displaystyle \alpha }. Según la dualidad de Poincaré, el grupo de homología de Z es doble del grupo de cohomología que llamaremos [Z], y el cap product puede ser calculado tomando el cup product de [Z] y {\displaystyle \alpha } y capping con la clase fundamental de X. Dado que [Z] es un grupo de cohomología, tiene descomposición de Hodge. Según el cálculo anterior, si nosotros cup este grupo con otro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), entonces tendremos cero. Dado que {\displaystyle H^{2n}(X,\mathbf {C} )=H^{n,n}(X)}, se concluye que [Z] debe quedar en {\displaystyle H^{n-k,n-k}(X,\mathbf {C} )}. En pocas palabras, la conjetura de Hodge dice:
¿Qué grupos de cohomología en {\displaystyle H^{k,k}(X)} derivan de subvariedades complejas Z?
Quien quiera ganarse un kilo de dolares que se dirija al Clay Research Award
Se trata de transportar la antorcha olimpica por mar, pero corriendo, claro esta, que aquí somos muy puretas. La travesía es de 15000 millas nauticas, el barco va a 30 nudos, cada vuelta al barco son 180 metros ¿cuantas vueltas tendra que dar y en cuanto tiempo el corredor para cumplir la distancia que tendría que haber hecho por tierra firme?
menéame
