Acerca de la resolución de problemas (y II)

En cualquier caso los problemas pueden necesitar habilidades de cualquier ámbito; el hecho de conocer el campo concreto del problema nos proporciona una gran cantidad de herramientas específicas. Es útil por tanto recordar las principales estrategias específicas en la materia en la que estemos trabajando en cada ocasión. Particularmente para problemas de matemáticas hay algunas técnicas que acaban apareciendo en más de un sitio.

- principio del palomar

- invariantes

- inducción

- tanteo

- acotación

- divisibilidad y congruencias

- revisar los teoremas, fórmulas o modelos del campo

- análisis dimensional (esto más en ciencias aplicadas)

- reducción al absurdo

- descenso (en problemas con números naturales llegar a un mínimo, muy usado por Fermat)

- proceso diagonal (para cardinales infinitos, una gran idea de Cantor)

Otra cuestión es si algunas estrategias nos pueden parecer despreciables por no usar nada sofisticado. Personalmente creo que es un error pensar así, cualquier camino que nos ayude a acercarnos a la solución de un problema es valioso. Cierto es que hay argumentos en los que la mayoría percibimos una elegancia mayor, pero esto no hace que otros caminos deban ser desechados.

III Tenemos un repertorio de ideas, elijamos una que nos resulte atractiva o parezca factible y trabajemos en ella. Para esta etapa a veces es importante la perseverancia. Algunas estrategias son trabajosas, otras no llevan a ninguna parte por prometedoras que parecieran. No obstante, cuando al ejecutar hasta el final la estrategia elegida los resultados son negativos deberemos volver al punto 2 y elegir una nueva. Haber hecho una buena lista de posibilidades hace que este paso sea menos tedioso. Hay quien valora mucho descansar, hacer ejercicio o dormir después de pensar mucho en un problema para retomarlo más adelante, o dedicarse a actividades muy alejadas de él. Entre ellos es famoso el caso de Poincaré, tiene varios escritos en los que explica cómo las ideas se le ocurrían en lugares poco relacionados con su trabajo, como subiendo a un transporte o paseando por la playa. Él creía que su cerebro trabajaba subconscientemente con las ideas y luego le mandaba a la consciencia las más estéticas.

Una estrategia que no lleva a la solución completa puede arrojar luz sobre resultados parciales que ayuden al aplicar la estrategia siguiente.

IV Una vez que hemos resuelto el problema debemos releer el enunciado para contrastar si de verdad lo que hemos concluido es lo que se nos pedía. Además se aprende mucho más de él si le dedicamos un pequeño tiempo a reflexionar sobre el problema.

Hacer un esquema mental del "argumento" de la resolución y entender las ideas principales y sus relaciones. ¿De todos los razonamientos pequeños que hemos unido para resolver el problema sabemos exactamente qué papel juega?

¿La estrategia de resolución es nueva o podemos agruparla con otras anteriores?

¿Se puede generalizar el problema a más casos?

¿Se puede simplificar la resolución que hemos dado?

¿Hay hipótesis innecesarias en el enunciado?

Cuando hacemos estas reflexiones estamos interiorizando y sistematizando nuevas herramientas de resolución que estarán disponibles para utilizarlas en la siguiente ocasión en que nos enfrentemos a un problema. Además podemos disfrutar mucho de la belleza de algunas de nuestras ideas, comparar nuestra resolución con las propuestas por otras personas, evaluar los puntos fuertes y débiles de todas ellas... Y autofelicitarnos, deleitarnos con el trabajo hecho y con el camino recorrido. Incluso si no hemos conseguido resolver el problema propuesto podemos hacernos conscientes del logro parcial de haber entendido las condiciones, propuesto caminos o avanzado en alguno de ellos. Cuanto más disfrutemos mejor disposición tendremos para el próximo reto.