Coloca 10 bolas puntuales en 5 lineas rectas de tal manera que cada línea tenga 4 bolas sobre ella.

Las cursivas son añadidos por los comentarios #1 y #2

En un lago perfectamente circular hay una chica nadando alegremente y en un momento dado ve a un ser horripilante (@Xtrem3) observándola y siguiéndola desde la orilla. Y claro, ella se acojona e intenta salir del lago nadando en dirección contraria. Pero a esto que ve que el acosador empieza a correr rodeando el lago... y desde luego que ella no va a salir por donde esté él, que a saber las intenciones (oye que le grita algo de barcos, pero no se para a escuchar).

En fin, teniendo en cuenta que la velocidad a la que corre el acosador es 4 veces la velocidad de la nadadora, y suponiendo que ambos pueden hacer cambios de dirección de forma instantánea, ¿podrá la chica escapar? ¿Podrá el engendro evitar que se le escape?

Una esfera pesa 40 kg. Se la coloca suavemente dentro de un cilindro lleno de agua en el cual entra exactamente. Después de esta operación, el cilindro y su contenido pesan 20 kg más. ¿Cuál es el volumen del cilindro? ¿Cuál es la densidad de la esfera?

Ana, Bea y Carlos pintarían mi casa en 3 días (de 24 horas, hasta el último minuto) Ana y Daniel tardarían 6 días, Carlos y Daniel tardarían 8 días, entre Bea, Carlos y Daniel acabarían en 5 días. ¿Cuánto tardarían entre los cuatro en pintar la casa? Respuestas con días, horas y minutos.

En el rectángulo ABCD, AB = 3 y BC = 4. El punto E es el pie de la perpendicular desde B a la

diagonal AC. ¿Cuál es el área del triángulo AED?

Sabiendo que

4^(x)+4^(-x)=7

Calcular

8^x+8^(-x)

Otro problema de presos. Dos amigos se encuentran encarcelados, y el director de la prisión, harto de las quejas de que ellos no deberían estar ahí, les propone un juego para darles una oportunidad de librarse. El director les explica el juego y al día siguiente ejecutarán la prueba. Así tienen un poco de tiempo de planear alguna estrategia.

El juego se basa en lo siguiente: el director llevará a uno de los amigos a una habitación en la que habrá un tablero de ajedrez en el que estarán las filas y columnas enumeradas con cifras y letras de forma estándar, es decir, a cada casilla le corresponderá un código de la forma B4, D3, F2, etc. Sobre cada casilla del tablero habrá una ficha de reversi, es decir, como las de las damas pero por un lado blancas y por el otro negras. Y estarán puestas al azar, sin un criterio, de hecho podría ser que todas las fichas tenga la cara superior blancas, o ninguna, hasta que el prisionero no vea el tablero no tendrá información al respecto. Luego, el director dirá una letra y una cifra para indicar una de las casillas, y este dato será el que tendrá que averiguar el segundo preso. Y ¿qué puede hacer el primer prisionero? Lo único que se le permitirá hacer es elegir una de las fichas del tablero y darle la vuelta, cambiando así el color de la cara superior. Podrá elegir la ficha que quiera, no tiene que ser ni mucho menos la de la casilla indicada por el director, y hacer esta acción será obligatorio. A continuación lo sacarán de la habitación y meterán al otro preso, que tendrá que decidir qué casilla es la elegida por el director. Como es de esperar los prisioneros no se cruzarán, el tablero de ajedrez y sus fichas no serán manipuladas por nadie y no valdrá intentar hacer ningún tipo de seña como dejar una pieza un poco torcida o algo así. Al segundo prisionero la única información que le llegará será el color de la ficha de cada casilla.

¿Qué estrategia se te ocurre a ti que podrían idear los dos prisioneros para ser capaces de superar la prueba?

Sabemos que x²+1/x²=7. Calcular x⁵+1/x⁵.

Tiene una solución algebraica razonablemente interesante.

Javier Bardem tiene 8 huevos de oro. Sabe que el joyero lo ha engañado y que uno de ellos tiene un pequeño hueco en su interior. Nada importante, puesto que ni a simple vista ni sopesándolos en las manos se nota la diferencia. Sin embargo, el honor de un Bardem ha quedado en entredicho y hay que encontrar el huevo que pesa menos y hacérselo tragar al joyero estafador.
Ayuda a Javier Bardem a encontrar el huevo que pesa menos que los demás usando una balanza, pero ten en cuenta que únicamente puedes hacer DOS pesadas.

¿Ya lo resolviste?

Pues la cosa se complica: Javier Bardem va al joyero y éste, para calmarlo, le ofrece cambiarle el huevo hueco por un huevo de los buenos, pero entre el barullo y el alborozo generalizado se vuelven a mezclar todos los huevos (ahora ya son 9). Ayuda de nuevo, ahora al joyero, a encontrar el huevo que pesa menos. Tienes la misma balanza y de nuevo puedes hacer sólo DOS pesadas.

En cualquier caso los problemas pueden necesitar habilidades de cualquier ámbito; el hecho de conocer el campo concreto del problema nos proporciona una gran cantidad de herramientas específicas. Es útil por tanto recordar las principales estrategias específicas en la materia en la que estemos trabajando en cada ocasión. Particularmente para problemas de matemáticas hay algunas técnicas que acaban apareciendo en más de un sitio.
- principio del palomar
- invariantes
- inducción
- tanteo
- acotación
- divisibilidad y congruencias
- revisar los teoremas, fórmulas o modelos del campo
- análisis dimensional (esto más en ciencias aplicadas)
- reducción al absurdo
- descenso (en problemas con números naturales llegar a un mínimo, muy usado por Fermat)
- proceso diagonal (para cardinales infinitos, una gran idea de Cantor)


Otra cuestión es si algunas estrategias nos pueden parecer despreciables por no usar nada sofisticado. Personalmente creo que es un error pensar así, cualquier camino que nos ayude a acercarnos a la solución de un problema es valioso. Cierto es que hay argumentos en los que la mayoría percibimos una elegancia mayor, pero esto no hace que otros caminos deban ser desechados.

III Tenemos un repertorio de ideas, elijamos una que nos resulte atractiva o parezca factible y trabajemos en ella. Para esta etapa a veces es importante la perseverancia. Algunas estrategias son trabajosas, otras no llevan a ninguna parte por prometedoras que parecieran. No obstante, cuando al ejecutar hasta el final la estrategia elegida los resultados son negativos deberemos volver al punto 2 y elegir una nueva. Haber hecho una buena lista de posibilidades hace que este paso sea menos tedioso. Hay quien valora mucho descansar, hacer ejercicio o dormir después de pensar mucho en un problema para retomarlo más adelante, o dedicarse a actividades muy alejadas de él. Entre ellos es famoso el caso de Poincaré, tiene varios escritos en los que explica cómo las ideas se le ocurrían en lugares poco relacionados con su trabajo, como subiendo a un transporte o paseando por la playa. Él creía que su cerebro trabajaba subconscientemente con las ideas y luego le mandaba a la consciencia las más estéticas.
Una estrategia que no lleva a la solución completa puede arrojar luz sobre resultados parciales que ayuden al aplicar la estrategia siguiente.

IV Una vez que hemos resuelto el problema debemos releer el enunciado para contrastar si de verdad lo que hemos concluido es lo que se nos pedía. Además se aprende mucho más de él si le dedicamos un pequeño tiempo a reflexionar sobre el problema.
Hacer un esquema mental del "argumento" de la resolución y entender las ideas principales y sus relaciones. ¿De todos los razonamientos pequeños que hemos unido para resolver el problema sabemos exactamente qué papel juega?
¿La estrategia de resolución es nueva o podemos agruparla con otras anteriores?
¿Se puede generalizar el problema a más casos?
¿Se puede simplificar la resolución que hemos dado?
¿Hay hipótesis innecesarias en el enunciado?

Cuando hacemos estas reflexiones estamos interiorizando y sistematizando nuevas herramientas de resolución que estarán disponibles para utilizarlas en la siguiente ocasión en que nos enfrentemos a un problema. Además podemos disfrutar mucho de la belleza de algunas de nuestras ideas, comparar nuestra resolución con las propuestas por otras personas, evaluar los puntos fuertes y débiles de todas ellas... Y autofelicitarnos, deleitarnos con el trabajo hecho y con el camino recorrido. Incluso si no hemos conseguido resolver el problema propuesto podemos hacernos conscientes del logro parcial de haber entendido las condiciones, propuesto caminos o avanzado en alguno de ellos. Cuanto más disfrutemos mejor disposición tendremos para el próximo reto.

Un mono tiene una bolsa con bastantes cacahuetes.

Cada mañana su dueño le añade 100 cacahuetes exactamente en la bolsa.

Luego, durante el día, el mono se come la mitad de los cacahuetes que encuentra en la bolsa y deja la otra mitad.

Una noche, después de varios años comportándose así, el dueño contó el número de cacahuetes que el mono había ahorrado en la bolsa.

¿Cuántos había?.

Tres amigos con dificultades económicas comparten un café que les cuesta 30 pesetas, por lo que cada uno pone 10.
Cuando van a pagar piden un descuento y el dueño les rebaja 5 pesetas tomando cada uno una peseta y dejando dos en un fondo común.Mas tarde hacen cuentas y dicen:
-Cada uno ha pagado 9 pesetas asi que hemos gastado 9×3=27 pesetas que con las dos del fondo hacen 29.
¿dónde esta la peseta que falta?

Encontrar un triángulo equilátero cuyos vértices estén cada uno en una de tres rectas paralelas cuyas distancias relativas conocemos, pongamos que la primera de la segunda dista "d", la primera de la tercera dista "e" y la tercera de la segunda dista "e-d"

Los siguientes hechos son ficticios, ¿eh?

En una maravillosa red social de caramelo en el país de la piruleta, hay un sistema muy curioso de karma de los usuarios. Cada usuario tiene una cantidad de karma k, que inicialmente es 6. Cuando un usuario escribe algo, los demás pueden votar positivo o negativo, y se supone que el autor del comentario cuenta como voto positivo, de forma que si votas positivo sumas tu karma al del comentario, y si votas negativo lo restas. Si tu karma baja de 6 dejas de molar para la administración y te bloquean el saco.

Ejemplo: Professor escribe algo, su karma es 8, y le votan positivo 3 personas de karma 6 y negativo una de karma 11. El karma definitivo de su comentario es 8+6+6+6-11 = 15

Por desgracia, se agrega una automoderación: si alguien vota negativo pasa a una lista negra por cada voto negativo que pone. Al final del día se mira quién ha puesto más votos negativos y a esa cifra la llamamos x, y todo usuario que haya puesto al menos x/2 votos negativos se va a ver penalizado según la fórmula:

pérdida de karma = 10*y/x dónde y es el número de votos del usuario.

Ejemplo: pepe vota 50 negativos, joselito vota 30 negativos, manuelito vota 24 negativos. El máximo es 50, así que:

• Pepe tendrá 10*50/50 = 10 puntos de pérdida de karma
• Joselito tendrá 10*30/50 = 6 puntos de pérdida de karma
• Manuelito se queda como estaba porque no ha superado los 50/2=25 votos.

Al final del día, se calcula cual sería tu karma modificado como "karma modificado = karma - pérdida de karma", y "karma actual = 95% karma antiguo + 5% karma modificado"

Ejemplo: Tu karma es 12, y hoy te has ganado un 10 de pérdida de karma.

Tu karma modificado será 12-10 = 2. Tu nuevo karma será:

nk = 95*12/100 + 5*2/100 = 11.5

Y ahora viene el problema de verdad: Unos trolles se organizan para votar positivo cosas fascistas y machistas, y así darse autobombo y atacar la red social. Un usuario que no puede soportar esas injusticias empieza con un karma k, y siempre las votará negativo porque está en sus principios, los cuales son correctos, con lo cual todos los días resulta ser la persona con más votos negativos puestos a causa de estos mensajes. ¿Cuántos días debe mantenerse la situación para que el usurio deje de molar y pase a tener menos de 6 de karma?

¡Es la hormiga de siempre! Ahora se encuentra con un estupendo bote cilíndrico de miel vacío: base circular de 5cm de radio, 20cm de altura, sin tapa y de espesor despreciable. Por suerte, contiene una gota de miel a 15cm de altura por la parte interior. La hormiga está en el exterior del bote, en la base y en el lado opuesto a la de la gota de miel, en la generatriz simétrica respecto al eje del cilindro. La hormiga decide utilizar el camino más corto para llegar a la gota. ¿Qué distancia recorre?

¿Hay algún nombre de varón en castellano que no comparta letras con CARLOS?

(Dividir) 100 panes entre 5 hombres (de tal forma que las partes estén en progresión aritmética y que) 1/7 de (la suma de) las tres partes mayores sea (igual a la suma de) las dos más pequeñas. ¿Cuál es el exceso (diferencia entre las partes)?

• Progresión aritmética significa que si el primero recibe a el segundo recibe a+d el tercero a+2d y de este modo cada uno una diferencia fija con el anterior, a eso llama exceso
• El Papiro de Rhind es el más importante de los documentos conservados de matemática en Egipto.
• Los egipcios tenían bastante sofisticación en su uso de las fracciones, aunque por su notación rígida complicaran mucho ciertos cálculos.

Este problema es muy fácil, espero que participen hasta los peques de cada casa.
En una competición participan varias escuelas, cada una de las cuales envía 3 corredores. De mi cole enviamos a Juana, Pedro y Lucas

* Juana terminó justo en la posición intermedia de todos los participantes
* Pedro fue nuestro siguiente clasificado, quedó el 18º
* Lucas tuvo una pequeña lesión y terminó el 28º

No nos fue tan bien como esperábamos, pero lo pasaron estupendamente e hicieron amigos de muchos coles, ¿de cuántos?

 ¿Qué año de después de cristo tiene la mayor cantidad de signos cuando se escribe en números romanos?

La banda estrecha de una mesa de billar (rectangular) mide 160 cm. Si coloco una bola en una esquina a 60 cm de cada una de las bandas y la golpeo exactamente con un ángulo de 45º respecto de las bandas al cabo de golpear 5 veces en las bandas pasa por el mismo punto. ¿Cuánto mide la banda larga?

Sean dos números iguales a y b con "a" elemento de los Naturales y "b" tambien elemento de los Naturales y distintos de cero, escribiremos:

• a = b

Multipilicando ambos lados de ésta igualdad por el mismo número "a" (lo cuál es absolutamente válido) obtenemos:

• a² = ab

Ahora restamos de ambos lados el mismo número " b² " (lo cuál es absolutamente válido) tenemos:

• a² - b² = ab - b²

Ésta última expresión puede escribirse asi (factorando en ambos lados):

• (a + b)(a - b) = b(a - b)

Dividiendo por (a - b) ya que ambos términos (a y b) son distintos de cero tenemos:

• a + b = b

Pero como al inicio asumimos que a = b entonces podemos escribir:

• b + b = b
• 2b = b

De donde finalmente se obtiene que:

• 2 = 1 ¿?

¿Donde esta el error? 

Tres noteantes van a medirse en un duelo de dos en dos.
@Personare acierta en dos de cada tres tiros.
@Nananicotina nunca falla
@Xtrem3 sólo acierta uno de cada tres tiros.

Las reglas son las siguientes. Primero deberá disparar Xtrem3 porque es el peor tirador. En segundo lugar, si aún vive, disparará Personare y por último disparará Nananicotina. Después se repetirán los turnos en este orden mientras los tiradores sigan vivos. ¿A quién debe disparar Xtrem3 en primer lugar?