¿Qué son los puntos de Lagrange (y por qué James Webb ocupa uno de ellos)?

Cercanos a la órbita terrestre hay cinco puntos donde se alcanza un equilibrio perfecto, donde el tirón gravitatorio del Sol y la Tierra se compensan perfectamente, para dotar a cualquier objeto que ocupe dichos puntos de una órbita de idéntica duración a la del  planeta, en contra de las leyes de la mecánica. Estos puntos son conocidos como puntos de Lagrange y fueron descubiertos en el siglo XVIII por Leonhard Euler. Has leído bien, los puntos de Lagrange no fueron descubiertos (no todos al menos) por Lagrange.

Lo que ocurrió concretamente es que en torno al año 1750, Euler encontró los tres primeros de estos cinco puntos como soluciones a un caso muy particular del problema de los tres cuerpos. Unos 20 años más tarde Lagrange encontró los dos restantes. Estos puntos son un claro ejemplo de cómo una simple curiosidad matemática puede convertirse en una realidad física útil e interesante.

El problema de los tres cuerpos que mantenía ocupados a Euler y Lagrange cuando descubrieron estos famosos puntos pretende describir las órbitas de tres cuerpos que se orbitan mutuamente. Aunque parezca algo sencillo, la realidad es que aún a día de hoy no conocemos una solución general para este problema. Es decir, no tenemos una ecuación que describa la órbita de esos tres cuerpos para cualquier configuración inicial (masas y velocidades) posible.

Solo si establecemos ciertas restricciones podemos llegar a alguna solución: si hacemos las tres masas idénticas y damos a las velocidades valores concretos, por ejemplo. Pues bien, la restricción establecida por Euler y Lagrange para esta solución particular fue que dos de los objetos debían ser mucho más masivos que el tercero de ellos. Este no es el caso si consideramos el sistema Sol-Tierra-Luna, pero sí lo es si estudiamos un sistema Sol-Tierra al que añadimos un pequeño asteroide o incluso una de nuestras sondas o cohetes.

Estos puntos serán por tanto aquellos lugares del espacio donde la atracción gravitatoria de los dos cuerpos mayores (el Sol y la Tierra en el caso que nos importa ahora) se sumará o compensará, de forma que cualquier objeto situado en uno de estos puntos tendrá una órbita alrededor del Sol de la misma duración que la de la Tierra. Veamos por qué esto “no debería ser así” y cómo funciona exactamente para cada uno de los cinco puntos.

L1

Este punto está situado en la línea que une directamente al Sol y la Tierra, entre los dos cuerpos. En el primer punto de Lagrange, la atracción gravitatoria de la estrella y el planeta se compensan para alcanzar un equilibrio. Un objeto situado en la región entre la Tierra y el Sol debería describir una órbita con un periodo menor que el de la Tierra. Como ejemplo tenemos a Mercurio y Venus, que tardan 88 y 225 días respectivamente en completar una órbita. Sin embargo, en la línea que une ambos cuerpos, la gravedad terrestre es capaz de contrarrestar la gravedad solar, haciendo que el objeto sienta como que orbita una estrella menos masiva, alargando el periodo de la órbita para una distancia dada. El punto L1 será aquel para el que este periodo alargado coincida exactamente con el de la Tierra.

L2

Este punto se encuentra también en la línea que une los dos cuerpos principales, pero situado más allá del más pequeño de los dos. Es decir, situado más allá de la Tierra en dirección contraria al Sol. En esta región, la órbita de cualquier objeto debería tener un periodo mayor que el correspondiente a la Tierra. Marte por ejemplo tarda 687 días en completar una órbita. Sin embargo, al situarse el objeto en la línea Tierra-Sol, la gravedad terrestre se suma a la solar, haciendo que el objeto sienta como si orbitara a una estrella más masiva y reduciendo el periodo necesario para completar una órbita. El punto L2 será aquel para el que este periodo acortado coincida exactamente con el de la Tierra. Este es el punto que ocupa el telescopio espacial James Webb [link a “Esta es la primera imagen nítida del James Webb”]. Se eligió este punto porque, además de resultar cómodo que el telescopio quede siempre cercano a la Tierra, su campo de visión queda libre, al apuntarse en dirección contraria al Sol, la Tierra y la Luna, que quedan siempre detrás del James Webb.

L3

El tercer punto de Lagrange se sitúa también en la línea que une estrella y planeta, pero situado más allá del Sol, en el punto opuesto a la Tierra, pero ligeramente más alejado que esta. Un objeto situado sobre la propia órbita de la Tierra debería tener un periodo idéntico a esta, si solo consideramos la atracción gravitatoria del Sol. Sin embargo, al situarse en esta zona, la propia Tierra se suma a esa atracción gravitatoria, haciendo que el objeto deba situarse apenas por fuera de la órbita terrestre para tener el periodo de la Tierra. De nuevo en el punto L3 los objetos sentirían como si orbitaran un Sol ligeramente más masivo, acortando su periodo orbital con respecto al valor original.

L4 y L5

Los puntos L4 y L5 se definen de igual forma, como el tercer vértice de los dos triángulos equiláteros que tiene como base la línea que une el Sol y la Tierra. Estos puntos están situados en la misma órbita que la Tierra, pero adelantados y retrasados 60º con respecto a esta. Estos puntos, a diferencia de los tres primeros, llevan a un equilibrio estable de forma que si un objeto se desvía de su posición, vuelve a donde estaba. Para los puntos L1, L2 y L3 esto no es así y cualquier pequeña separación se verá incrementada con el tiempo a menos que sea corregida, como ocurre en el caso del James Webb y otros telescopios, que requieren correcciones en su órbita cada pocas semanas.

En los puntos L4 y L5 de diversos planetas se han encontrado asteroides compartiendo órbita. Estos reciben el nombre de asteroides troyanos y aunque para la Tierra sólo se conocen dos de estos cuerpos, que orbitan alrededor de L4, en el caso de Júpiter se conoce que deberían existir más de un millón de cuerpos ocupando estas regiones.

REFERENCIAS:

N. J. Cornish, 1998, The Lagrange Points, NASA, WMAP Education and Outreach

Hui, Man-To et al, 2021, The Second Earth Trojan 2020 XL5, The Astrophysical Journal Letters. 922 (2): L25, doi:10.3847/2041-8213/ac37bf